3.5. Сдвиг сегмента разложения

Рассмотрим разложение функции f(x) в тригонометрический ряд Фурье на произвольном отрезке [a, b] длиной 2 : [a, a + 2].

Переход от [, ] к [a, a + 2] можно осуществить сдвигом первоначального сегмента вдоль оси ох на  + а.

Лемма. Если функция (х) — периодическая с периодом Т, т. е. (х) = (х + Т), то при любых а и 

. (11.16)

Вывод: Если функция f(x):

1) задана на отрезке 0, 2 или [a, a + 2], где а — произ-вольное число;

2) удовлетворяет условиям Дирихле на этом отрезке,

то разложение такой функции в тригонометрический ряд Фурье имеет тот же вид, что и в случае функции, заданной на отрезке [, ], лишь в формулах для коэффициентов следует заменить пределы интегрирования ,  соответственно на 0, 2 или a, a + 2.

Так, если функция f(x) задана на отрезке [a, a + 2], тригонометрический ряд имеет вид

где следует взять а = 0, если функция задана на отрезке 0, 2 или а = const  0, если функция задана на отрезке [a, a + 2].

Замечание 3. При вычислении коэффициентов Фурье 2-периодичной функции на сегменте [, ] мы можем для удобства интегрировать не по этому сегменту, а по любому другому сегменту вида [a, a + 2], выбрав значения а так, чтобы вычисления стали более простыми.

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию

Решение. При непосредственном вычислении

Интегрируем по частям: в первом интеграле и = х + 2, во втором интеграле и = х, соответственно dx = du, cosnxdx = dv,

;

интегрируем по частям du = dx,

=

95

3.6. Изменение длины сегмента разложения

Задача. Разложить функцию у = f(x) в тригонометрический ряд Фурье на сегменте [a, a + 2l], причём 2l  2 (l > 0) (см. формулу (11.4)).

Решение. Положим (т. е. изменим масштаб на оси ох).

Так как изменение масштаба не влияет ни на кусочную монотонность, ни на кусочную непрерывность, то условия Дирихле сохраняются:

,

т. е. в новом масштабе длина сегмента разложения равна 2.

Разложим теперь в тригонометрический ряд Фурье функцию у на сегменте :

,

воспользуемся леммой, положив

Вернёмся к старой переменной , :

(11.19)

где

Может оказаться, что функция f(x) является чётной или нечётной на отрезке [l, l]. Тогда её разложение и формулы коэффициентов принимают следующий вид:

f(x) — чётная:

где

f(x) — нечётная:

(11.21)

где .

Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = 3 х, 3, 3. С помощью полученного разложения вычислить сумму числового ряда

Решение. Перепишем функцию в виде

П остроим её график (см. рис. 11.16).

Проверим условия теоремы Дирихле:

1) f(x) непрерывна на 3, 3.

2) f(x) кусочно монотонна на (3, 0) и (0, 3).

3) .

Запишем ряд Фурье для чётной функции, используя формулы (11.20) при l = 3:

Найдём коэффициенты Фурье:

,

интегрируем по частям 3  х = и, du =  dx,

=

Коэффициенты найдены, составляем ряд:

S(x) = f(x) = 3  x для всех x 3, 3.

Теперь выполним второе задание: вычислим сумму числового ряда. Точка х = 0 принадлежит отрезку [3, 3]. Подставим её в выражение суммы ряда

отсюда искомая сумма