3.3. Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций

Пусть функция y = f(x) задана на сегменте [, ] и удовлетворяет условиям Дирихле.

Рассмотрим предварительно поведение чётной и нечётной функций на симметричном промежутке [а, а].

1. Пусть y = f(x) — чётная функция, т. е. f(x) = f(xВычислим определённый интеграл

Геометрически каждый из интегралов в правой части равенства выражает величину площади (между осью ох и графиком функции) S₁ и S₂, причём, в силу симметрии, S₁ = S₂. Выполним в первом из интегралов замену: x = t, dx = dt, тогда (учитывая f(x) = f(x))

.

2. Пусть f(x) — нечётная функция, т. е. f(x) =  f(x)) Вычислим

.

Выполняя в первом слагаемом замену x = t и учитывая равенство f(x) =  f(x), получим

.

Итак, на симметричном интервале [а, а] определённый интеграл от чётной функции равен удвоенному интегралу на [0, а], интеграл от нечётной функции на промежутке [а, а] равен нулю.

3. Пусть теперь f(x) — чётная функция, удовлетворяющая условиям Дирихле на [, ]. Найдём коэффициенты Фурье:

(в последнем равенстве подынтегральная функция — чётная, поскольку равна произведению чётных функций);

(подынтегральная функция — нечётная, поскольку является произведением чётной и нечётной функций).

Ряд Фурье для чётной функции (разложение только по косинусам) примет вид

где

4. Пусть f(x) — нечётная функция, удовлетворяющая условиям Дирихле на [, ]. Найдём её ряд Фурье:

(здесь подынтегральная функция нечётная), n = 0, 1, 2, ѕ,

 (подынтегральная функция — чётная как произведение двух нечётных функций).

Итак, ряд Фурье для нечётной функции (разложение только по синусам) имеет вид

где .

Формулы носят общее название: неполные тригонометрические ряды.

3.4. Разложение в ряд Фурье функций на сегменте [0, ]

Пусть функция y = f(x) задана на сегменте [0, ] и удовлетворяет там условиям Дирихле. Чтобы разложить такую функцию в ряд Фурье, нужно её доопределить на сегменте [, 0]. Тогда будем иметь возможность разложить f(x) в ряд Фурье. Так как реально заданной является только часть функции на сегменте [0, ], то полученный ряд следует рассматривать лишь для переменной х, заданной в промежутке [0, ].

Очевидно, получившийся ряд будет зависеть от того, как именно мы произведём доопределение нашей первоначально заданной функции на [0, ].

Как доопределить функцию? Рассмотрим два варианта.

1. Продолжим функцию f(x) на промежуток [, 0] чётным образом т. е. построим новую функцию, обладающую свойством чётности (симметрия графика относительно оси оу) (x) = (x),   х  , которая на отрезке [0, ] совпадает с функцией f(x). Тогда

где .

Если х — точка непрерывности, то S(x) = f(x) для x  (0, ).

В точках конечного разрыва S(x) вычисляем соответственно теореме Дирихле.

2. Доопределим функцию f(x), продолжив её на отрезок [, 0] нечётным образом, т. е. построим новую функцию, обладающую свойством нечётности (x) = (x) (симметрия графика относительно начала координат) которая на отрезке [0, ] совпадает с функцией f(x), а именно: f(x) = (x), 0  х  .

Тогда

где

В этом случае S(x) = f(x) во всех точках непрерывности функции отрезка [0, ].

Пример 2. Разложить функцию f(x) = 2х 2, [0, ] в ряд Фурье, продолжив её  чётным образом;  нечётным образом.

Р ешение. Продолжим функцию f(x) на интервал [, 0] чётным образом построив чётную функцию

Р яд Фурье для чётной функции имеет вид

Ищем коэффициенты Фурье для функции (x):

интегрируем по частям х  1 = и, dx = du,

Коэффициенты найдены. Составляем ряд:

Таким образом, полученный ряд сходится к функции f(x) для всех x 0, , т. е. S(x) = f(x) = 2х  2, если 0  х  .

б) Продолжим функцию f(x) на интервал [, 0] нечётным образом построив нечётную функцию

Ряд Фурье для нечётной функции имеет вид

Составляем ряд: