ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование»

Ахметжанова Г.В., Павлова Е.С., Кошелева Н.Н.

Теоретический материал по модулю «Ряды»

Учебно-методический материал для студента

Тольятти 2007

УДК 51(075.8)

ББК 22.1я.73

Т 93

Научный редактор

д.т.н., профессор П.Ф.Зибров

Т-93 Теоретический материал по модулю «Ряды»: учебно-методический материал для студента. Сост.: Ахметжанова Г.В., Кошелева Н.Н., Павлова Е.С., - Тольятти: ТГУ, 2007 стр. 43.

Утверждено научно-методическим советом факультета математики и информатики Тольяттинского государственного университета.

УДК 51(075.8)

ББК 22.1я173

 Тольяттинский Государственный Университет

Содержание

1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 5

1.1. Основные понятия 5

1.2. Свойства числовых рядов 6

1.3. Ряды с положительными членами 7

1.3.1. Достаточные признаки сравнения знакоположительных рядов. Эталонные ряды 8

1.3.2. Достаточные признаки Даламбера и Коши сходимости знакоположительных рядов 9

1.4. Ряды с произвольными членами 11

1.5. Знакочередующиеся ряды 12

2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 14

2.1. Определение, область сходимости 14

2.2. Равномерная сходимость функционального ряда. 15

2.3. Степенные ряды 17

2.4. Разложение функций в степенные ряды 21

2.5. Приложения рядов к приближённым вычислениям 24

2.6. Решение задачи Коши с помощью степенных рядов 27

3. РЯДЫ ФУРЬЕ 28

3.1. Ряды и коэффициенты Фурье 28

3.2. Условия и теорема Дирихле 30

3.3. Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций 32

3.4. Разложение в ряд Фурье функций на сегменте [0, ] 33

3.5. Сдвиг сегмента разложения 35

3.6. Изменение длины сегмента разложения 36

3.7. Интеграл Фурье (как предельный случай ряда Фурье) 38

1. Числовые ряды

1.1. Основные понятия

Определение 1. Пусть дана числовая последовательность .

Выражение называется числовым рядом и обозначается сокращённо

.

При этом числа называются членами ряда,

– функция дискретного аргумента n, которая называется n-ым членом ряда.

Пример 1. Найти члены , , ряда .

Решение. Подставляя в формулу общего члена вместо п номера 1, 3, n + 1, получаем соответственно

,

Частичной суммой Sn ряда (9.1) называется сумма п его первых членов. Например:

Определение 2. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм, равный S,

, то ряд называется сходящимся, а число S называется суммой ряда. Если (или не существует), то ряд называется расходящимся.

Заметим, что если ряд сходится, то его частичная сумма является приближённым значением суммы ряда (с какой-то степенью точности).

Пример 2. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Данный числовой ряд является геометрической прогрессией со знаменателем q:

Рассмотрим возможные варианты:

 при прогрессия будет убывающей, её сумма

,

сумма ряда — конечное число, ряд сходится;

 при геометрическая прогрессия является возрастающей, её частичная сумма может стать больше любого наперёд заданного числа. Это пример расходящегося ряда. Отметим два частных случая:

а) пусть, , .. Получаем ряд

.

Для него

, , ,…, , ,…., ,….

Последовательность частичных сумм 1, 0, 1, 0, 1, 0, … предела не имеет, значит, данный ряд расходится;

б) если, , ,, получаем ряд 1 + 1 + 1 + … + 1 + …, для которого и .