5.2. Неоднородные линейные уравнения іі порядка с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера вариации произвольных постоянных

Неоднородное линейное уравнение ІІ порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

, где .

Теорема 5.2. (о структуре решения).

Общее решение линейного неоднородного уравнения ІІ порядка равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения данного неоднородного уравнения:

.

Рассмотрим метод Эйлера. Он является общим, универсальным методом в том смысле, что может применяться для уравнений с произвольной правой частью. Суть его в следующем. Сначала записывают общее решение соответствующего однородного уравнения

:

.

Затем конструируют функцию

,

где - теперь уже функции переменной х.

Доказано, что функция является решением уравнения (5.2), если функция и удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

.

Пример 5.2.1. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

1⁰.Определим тип уравнения:

- линейное, неоднородное, ІІ порядка, с постоянными коэффициентами.

2⁰. Запишем формулу общего решения:

.

3⁰. Найдём общее решение однородного уравнения - :

4⁰. Сконструируем формулу частного решения уравнения – у*:

.

5⁰.Запишем систему уравнений относительно функций :

6⁰. Решим систему, составленную в пункте 5⁰:

7⁰. Запишем частное решение у*:

8⁰. Запишем ответ – общее решение уравнения:

Пример 5.2.2. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Ответ: .

6. Линейные неоднородные уравнения іі порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа неопределенных коэффициентов

Продолжаем рассматривать методы решения уравнения.

Как выяснилось на предыдущем занятии, метод Эйлера вариации произвольных постоянных, с помощью которого отыскиваются частные решения у*, связан с интегрированием функций и , что представляет определенные практические трудности. Имеются случаи, когда частное решение у* можно найти проще, не прибегая к интегрированию. Речь пойдет о широко применяемых в науке дифференциальных уравнениях, у которых правая часть имеет вид: , где - заданные многочлены одной или разных степеней.

Поставим в соответствие уравнению (6.1) с правой частью (6.2) число

и назовем его основным параметром уравнения.

Сконструируем функцию вида ,

где - многочлены степени , записанные пока с неопределенными коэффициентами (отсюда название метода);

- кратность корня характеристического уравнения, равного параметру .

Таблица 4 Формы правой части ) и соответствующие решения уравнения у*
N	Правая часть уравнения	Основной параметр	Сравнение параметра с корнями характеристического уравнения	Конструкция частного решения у*
1	А		0 не является корнем
			0 однократный корень
			0 двукратный корень
2			0 не является корнем
			0 однократный корень
			0 двукратный корень
3			не является корнем
			однократный корень
			двукратный корень
4			не является корнем
			однократный корень
			двукратный корень
5			не являются корнями
			- корни
6			не являются корнями
			- корни
7			не являются корнями
			- корни
8			не являются корнями
			- корни

Как видим, конструкция функции у* определяется как формой правой части уравнения – функцией , так и видом левой его части – корнями характеристического уравнения. Доказано, что при соответствующем выборе значений коэффициентов для многочленов функция у* является частным решением уравнения (6.1).

В таблице 4 приведены различные формы правой части (частные случаи ) и соответствующие решения уравнения у*.

Пример 6.1. Для данных неоднородных уравнений подобрать частное решение у* в форме, соответствующей форме из таблицы 4.

Решения неоднородных уравнений примера 6.1

Таблица 5

№	Правая часть уравнения f(x)	Основной параметр α ± βi	Сравнение параметра с корнями характеристического уравнения	Конструкция частного решения у*
1	2	3	4	5
1	А	α = βi=0 α ± βi=0	0 не является корнем 0 однократный корень 0 двукратный корень	B Bx Bx2
2	Pn(x)	α = βi=0 α ± βi=0	0 не является корнем 0 – однократный корень 0 – двукратный корень	Mn(x) Mn(x) · x Mn(x) · x2
3	Aeαx	β=0 α ± βi=α	α не является корнем α – однократный корень α – двукратный корень	Beαx Beαx · x Beαx · x2
4	Pn(x) eαx	β=0 α ± βi=α	α не является корнем α – однократный корень α – двукратный корень	Mn(x)eαx Mn(x)eαx · x Mn(x)eαx · x2
5	Acosβx + Bsinβx	α=0 α ± βi=β	± βi не являются корнями ± βi – корни	Ccosβx + Dsinβx (Ccosβx + Dsinβx) · x
6	Px(x)cosβx + Qm(x)sinβx	α=0 α ± βi=β	± βi не являются корнями ± βi – корни	Mn(x)cosβx + Nn(x)sinβx) (Mn(x)cosβx + Nn(x)sinβx) · x
7	(Acosβx + B sinβx)eαx	α ± βi	α ± βi не являются корнями α ± βi – корни	(Ccosβx + Dsinβx)eαx (Ccosβx + Dsinβx)eαx· x
8	(Px(x)cosβx + Qm(x)sinβx) eαx	α ± βi	α ± βi не являются корнями α ± βi – корни	(Mn(x)cosβx + Nn(x)sinβx)eαx (Mn(x)cosβx + Nn(x)sinβx)eαx· x

Пример 6.2. Подобрать для данных неоднородных уравнений частное решение у* в форме, соответствующей форме из таблицы 4.

а) ; г) ;

б ) ; д) ;

в) ; е) ..

Ответ: а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

Пример 6.3. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

1⁰. Определим тип уравнения:

- линейное, неоднородное, ІІ порядка, с постоянными коэффициентами, со специальной правой частью.

2⁰. Запишем формулу общего решения:

.

3⁰. Найдём общее решение однородного уравнения - :

4⁰. Проведём анализ правой части уравнения:

.

5⁰. Вычислим основной параметр уравнения:

.

6⁰. Определим параметр :

Основной параметр является однократным корнем характеристического уравнения, следовательно .

7⁰. Сконструируем частное решение – у*:

.

8⁰. Вычислим коэффициенты функции у*:

8.1. Найдём производные от функции у*:

8.2. Поставим функцию у* и её производные в данное уравнение:

.

8.3. Приравняем коэффициенты при подобных членах левой и правой части равенства:

8.4. Решим систему:

.

9⁰. Запишем частное решение у*:

.

10⁰. Запишем ответ – общее решение уравнения:

.

Пример 6.4. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

, удовлетворяющее условиям .

1⁰. - линейное, неоднородное, ІІ порядка, с постоянными коэффициентами, со специальной правой частью.

2⁰. Запишем формулу общего решения

.

3⁰. Найдём общее решение однородного уравнения - :

.

4⁰. Проведём анализ правой части уравнения:

,

5⁰. Вычислим основной параметр уравнения:

.

6⁰. Определим параметр :

Значения основного параметра являются однократными корнями характеристического уравнениями, следовательно .

7⁰. Сконструируем частное решение – у*:

.

8⁰. Вычислим коэффициенты функции у*:

8.1. Найдём производные от функции у*:

;

8.2. Поставим функцию у* и её производные в данное уравнение:

8.3. Приравняем коэффициенты при подобных членах левой и правой части равенства:

8.4. Решим систему:

9⁰. Запишем частное решение у*:

.

10⁰. Запишем общее решение уравнения:

.

11⁰. Найдём значения произвольных постоянных и :

При х=0, у=1, у’=0 имеем .

12⁰. Запишем ответ – частное решение уравнения:

.

Пример 6.5. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Ответ: .

Пример 6.6. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее условиям .

Ответ: .