5. Линейные дифференциальные уравнения  порядка коэффициентами

5.1. Однородные линейные уравнения  порядка с постоянными коэффициентами

Однородное линейное уравнение  порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

, где - заданные числа.

Структура решения уравнения (5.1) определяется следующими теоремами.

Теорема 5.1. Всякое линейное однородное уравнение  порядка имеет систему двух линейно независимых частных решений.

.

Эта система носит название фундаментальной системы решений.

Теорема 5.2. (о структуре решения)

Общее решение линейного однородного уравнения  порядка есть линейная комбинация частных решений его фундаментальной системы: .

Для отыскания фундаментальной системы решений составляют так называемое характеристическое уравнение .

В зависимости от вида корней (вещественные различные, вещественные равные, комплексные) фундаментальная система решений имеет различный вид (табл. 3).

Виды фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения

Таблица 3

Дискриминант характеристического уравнения	Корни характеристического уравнения	Фундаментальная система частных решений	Общее решение
	вещественные различные
	вещественные равные
	Комплексные

Пример 5.1.1. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

, удовлетворяющее начальным условиям

1⁰. Определим тип уравнения.

- линейное, однородное ІІ порядка, с постоянными коэффициентами.

2⁰. Запишем формулу общего решения:

3⁰. Составим и решим характеристическое уравнение:

(корни вещественные, различные)

4⁰. Запишем фундаментальную систему решений:

.

5⁰. Запишем общее решение уравнения:

6⁰. Найдём значения произвольных постоянных и :

При получаем

7⁰. Запишем ответ – частное решение уравнения:

.

Пример 5.1.2. Найти общее решение дифференциального уравнения .

1⁰. Определим тип уравнения.

- линейное, однородное, ІІ порядка, с постоянными коэффициентами

2⁰. Запишем формулу общего решения:

.

3⁰. Составим и решим характеристическое уравнение:

(корни вещественные, равные).

4⁰. Запишем фундаментальную систему решений:

.

5⁰. Запишем общее решение уравнения:

Пример 5.1.3. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения ,

удовлетворяющее начальным условиям .

1⁰. Определим тип уравнения.

- линейное, однородное, ІІ порядка, с постоянными коэффициентами

2⁰. Запишем формулу общего решения:

.

3⁰. Составим и решим характеристическое уравнение:

(корни комплексные).

4⁰. Запишем фундаментальную систему решений:

.

5⁰. Запишем общее решение уравнения:

6⁰. Найдём значения произвольных постоянных и :

При получаем

7⁰. Запишем ответ – частное решение уравнения:

.

Пример 5.1.4. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

Ответ: а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .