3.2. Уравнения Бернулли
Уравнением Бернулли называется
уравнение вида
или
.
Уравнение Бернулли отличается от линейного правой частью и сводится к последовательности уравнений с разделяющимися переменными по той же схеме, что и линейное, подстановкой
или
Пример 3.2.1. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
10. Определим тип дифференциального уравнения (таблица 1):
- уравнение Бернулли,
где
.
20. Запишем подстановку:
.
30. Осуществим подстановку в данное уравнение:
40. Запишем последовательность уравнений относительно функций и . Сгруппируем первый и третий члены уравнения:
Выберем функцию так, чтобы она обращала в нуль скобку, получим последовательность уравнений:
50. Найдём функции и . Каждое из уравнений последовательности (пункт 40) является уравнением с разделяющимися переменными:
60. Запишем общее решение дифференциального уравнения:
Пример 3.2.2. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
Ответ:
.
Пример 3.2.4. Среди уравнений указать то, которое одновременно является однородным, в полных дифференциалах и линейным:
а)
;
б)
.
Ответ: а); б).
Пример 3.2.5. Среди уравнений указать то, которое одновременно является уравнением с разделяющимися переменными, в полных дифференциалах и линейным:
а)
;
б)
.
Ответ: а).
4. Дифференциальные уравнения порядка, допускающие понижение порядка
4.1. Дифференциальные уравнения порядка. Общие понятия
Обыкновенным дифференциальным
уравнением
порядка называется уравнение вида
, связывающее
независимую переменную x,
искомую функцию y и
её производные и
ІІ порядков.
Частным решением дифференциального
уравнения
порядка называется дифференцируемая
функция
,
которая, будучи подставленной в уравнение
вместе со своими производными, обращает
его в тождество
.
Дифференциальное уравнение порядка, как и любое дифференциальное уравнение, имеет бесчисленное множество решений. Множество всех решений уравнения порядка называется его общим решением; оно содержит две производные постоянные:
Задача Коши для уравнения
порядка есть задача о нахождении
частного решения, которое удовлетворяло
бы начальным условиям
где
- заданные числовые значения.
С геометрической точки зрения задача
Коши состоит в том, чтобы среди множества
интегральных кривых
найти ту, которая проходит через заданную
точку
в заданном направлении
.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Разрешим уравнение
относительно второй производной
.
Если функция
и её частные производные
непрерывны в некоторой области D,
то для любой её внутренней точки
существует – и притом единственное –
решение
,
удовлетворяющее начальным условиям
Если найдено общее решение
,
то для решения задачи Коши постоянные
и
находятся из системы уравнений
4.2. Уравнения порядка, допускающие понижение порядка
В таблице 2 приведены типы уравнений порядка, допускающие понижение порядка, которые будут изучаться на занятии.
Пример 4.2.1. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
10. Определим тип уравнения:
- уравнение, допускающее понижение
порядка, 1 типа (таблица. 2). Решается
последовательным интегрированием (20,
30).
20. Проинтегрируем обе части уравнения:
.
30. Проинтегрируем обе части полученного уравнения:
40. Найдём произвольные постоянные:
П
ри
x=o,
y=o,
y’=1 получаем
.
50. Запишем ответ – частное решение уравнения:
.
Таблица 2
Типы уравнений порядка, допускающие понижение порядка
Тип уравнения |
Особенности |
Метод решения |
|
Разрешено относительно второй производной. Правая часть зависит только от х |
Последовательное интегрирование:
|
|
Отсутствует явно функция у |
Подстановка:
|
|
Отсутствует явно независимая переменная х |
Подстановка:
|
Пример 4.2.2. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям .
Ответ:
.
Пример 4.2.3. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
10. Определим тип уравнения:
- уравнение, допускающее понижение
порядка, типа
(таблица 2).
20. Запишем подстановку
.
30. Осуществим подстановку в данное уравнение:
.
40. Решим полученное дифференциальное уравнение первого порядка.
4.1. Определим тип уравнения по таблице 1:
- однородное уравнение.
4.2. Запишем подстановку:
.
4.3. Осуществим подстановку в уравнение:
.
4.4. Решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:
;
4.5. Запишем общее решение:
50. Определим значение произвольной
постоянной
.
Указание. При решении уравнений и типа с начальными условиями рекомендуется определять произвольную постоянную сразу, как она появилась.
При
имеем
,
тогда
.
60. Решим уравнение, полученное в пункте 50:
- уравнение с разделяющимися переменными.
.
70. Определим значение произвольной постоянной .
При х=1, у=е имеем
.
80. Запишем ответ – частное решение уравнения:
.
Пример 4.2.4. Найти решение задачи Коши для уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
Ответ:
.
Пример 4.2.5. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям .
10. Определим тип уравнения:
- уравнение, допускающее понижение, ΙΙΙ
типа (таблица 2).
20. Запишем подстановку:
.
30. Осуществим подстановку в уравнение:
.
40.Решим уравнение, полученное в пункте 30.:
- уравнение с разделяющимися переменными.
50. Найдём значение произвольной постоянной .
При
имеем
.
Тогда
.
60. Решим уравнение, полученное в пункте 50:
- уравнение с разделяющимися переменными
70.Определим значение произвольной постоянной :
При
имеем
.
80. Запишем ответ – частное решение уравнения:
.
Пример 4.2.6. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
Ответ:
.
Согласно закону Ньютона математической моделью прямолинейного (вдоль оси ОХ) движения тела является дифференциальное уравнение
(
)
Здесь возможны следующие случаи.
Правая часть уравнения ( ) постоянна или является функцией времени
,
тогда имеем дело с уравнением 1 типа (примеры 4.2.7, 4.2.8).
Правая часть уравнения ( ) есть функция скорости
,
то получаем уравнение типа (пример 4.2.9).
Правая часть уравнения ( ) есть функция смещения
,
то уравнение является уравнением III типа (пример 4.2.10).