2. Однородные дифференциальные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах

2.1. Однородные дифференциальные уравнения I порядка

Функция называется однородной функцией – го порядка однородности относительно переменных , если при любом справедливо равенство

.

Пример 2.1.1. Определить порядок однородности функций:

а) - функция 1 порядка однородности, т.к.

б) - функция нулевого порядка однородности, т.к.

;

в) - функция третьего порядка однородности, т.к.

г) - функция нулевого порядка однородности, т.к.

;

д) - функция нулевого порядка однородности, т.к.

.

Однородную функцию нулевого порядка можно представить как функцию отношения переменных или .

Пример 2.1.2. Представить функцию как функцию отношения переменных или .

или

.

Дифференциальное уравнение Ι порядка называется однородным дифференциальным уравнением, если его правая часть – однородная функция нулевого порядка, т.е. функция отношения (или ), или .

Уравнение, записанное в симметричной форме , является однородным уравнением, если функции и - однородные функции одинакового порядка.

Пример 2.1.3. Среди данных уравнений указать однородные дифференциальные уравнения:

а) ; в) ;

б) ; г) .

Решим первое уравнение:

а) .

1⁰. Преобразуем дифференциальное уравнение. Разделим обе части уравнения на ; для выражения в скобках применим свойство логарифмов: разность логарифмов равна логарифму от частного, получим:

.

2⁰. Правая часть преобразованного дифференциального уравнения

является функцией нулевого порядка однородности, так как

,

то дифференциальное уравнение является однородным.

б) .

1⁰. Преобразуем дифференциальное уравнение. Разделим обе части уравнения на ; выразим , получим:

.

2⁰. Правая часть преобразованного дифференциального уравнения

является функцией нулевого порядка однородности, так как

,

то дифференциальное уравнение является однородным.

в) .

1⁰. Преобразуем дифференциальное уравнение. Разделим обе части уравнения на ; выразим , получим:

.

2⁰. Правая часть преобразованного дифференциального уравнения

является функцией нулевого порядка однородности, так как

,

то дифференциальное уравнение является однородным.

г) .

1⁰. Преобразуем дифференциальное уравнение. Разделим обе части уравнения на ; выразим , получим:

,

,

2⁰. Правая часть преобразованного дифференциального уравнения

не является однородной функцией, так как

,

то дифференциальное уравнение не является однородным.

Любое однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой , откуда

Пример 2.1.4. Среди интегральных кривых уравнения

найти ту, которая проходит через точку М(1,1).

1⁰. Определим тип уравнения (таблица 1):

1.1. Преобразуем дифференциальное уравнение, получим:

.

1.2. Правая часть преобразованного дифференциального уравнения

является функцией отношения , то (по таблице 1) дифференциальное уравнение является однородным.

2⁰. Запишем подстановку:

.

3⁰. Осуществим подстановку в уравнение:

.

4⁰. Решим полученное уравнение с разделяющимися переменными.

4.1. Разделим переменные:

4.2. Проинтегрируем обе части равенства:

4.3. Упростим результат интегрирования:

5⁰. Запишем общее решение (общий интеграл) уравнения:

6⁰. Найдём значение произвольной постоянной:

при x=1, y=1 получаем

.

7⁰. Запишем ответ – частное решение уравнения:

.

Пример 2.1.5. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее начальным условиям .

Ответ: .

Пример 2.1.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Ответ: .