1.2. Криволинейный интеграл второго типа (по координатам)

В пространственной области Т рассмотрим три функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), непрерывные на дуге АВ кусочно-гладкой кривой L.

Разобьём дугу АВ точками M_i(x_i, y_i, z_i) на п элементарных дуг M_i1M_i (i = 1, 2, …, n), на каждой из которых произвольно выберем точку K_i. Вычислим значения каждой из функций в выбранных точках

где

Спроектируем каждую элементарную дугу на оси координат, обозначив их проекции соответственно x_i, y_i, z_i. Составим произведения

для всех i = 1, 2, …, n и просуммируем их:

где S_n— интегральная сумма для функций P, Q, R.

Определение. Криволинейным интегралом второго типа, взятым по кривой L (или по пути АВ), называется предел интегральной суммы S_n при п   и

Обозначается:

В частности, в двухмерном пространстве, если кривая L целиком находится в плоскости хоу, а функции P, Q, R не зависят от переменной z, имеем криволинейный интеграл

Докажем, что составной интеграл существует, и одновременно получим метод его вычисления.

Теорема 1 (существования). Если АВ — дуга кусочно-гладкой кривой L и функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) определены на дуге АВ, то предел интегральной суммы S_n существует и не зависит ни от способа деления дуги АВ на части, ни от выбора точек K_i на каждой из элементарных дуг.

Доказательство. Разобьём правую часть формулы (5) на составные однотипные суммы, обозначив

Рассмотрим первую из них. Перепишем уравнение кривой L в параметрическом виде

Тогда точке M_i1 соответствует значение параметра t_i1, точке K_i — значение , точке M_i — значение t_i, т.е. каждой точке

кривой L соответствует определённое значение параметра t. Подставим формулы (8) в интегральную сумму

где x_i = x(t_i), x_i1 = x(t_i1).

По теореме Лагранжа

где

Представим где _i  бесконечно малая (в силу непрерывности производной при ).

По условию кривая L – кусочно-гладкая, т.е. обладает непрерывно изменяющейся касательной, а это означает, что — непрерывные функции.

Тогда

Первое слагаемое в правой части равенства является интегральной суммой для функции одной переменной

и поэтому (см. [3]) имеет своим пределом определённый интеграл

Второе слагаемое суммы S_n,x имеет своим пределом ноль как бесконечно малая высшего порядка по сравнению с t_i.

Аналогично доказываем существование пределов двух последних сумм формул

Делаем вывод: составная интегральная сумма имеет конечный предел, равный сумме трёх слагаемых:

где t_A — значение параметра в точке А (начале пути интегрирования),

t_B — значение параметра в точке B (конце пути интегрирования).

Таким образом, мы не только доказали факт существования криволинейного интеграла, но и получили метод его вычисления, а именно: чтобы вычислить интеграл второго типа, его необходимо перевести в определённый интеграл по формуле (10), выразив переменные х, у, z через параметр t, выбранный на линии интегрирования

соответственно заменив дифференциалы

Криволинейному интегралу (в механике и физике его называют линейным) можно придать вполне определённый физический смысл: как работы переменной силы

вдоль кривой L от точки А до точки В.

Вспомним начальные сведения о работе:

 сила  — постоянный вектор,

путь S — прямолинейный отрезок,

работа равняется скалярному произведению: ;

 работа переменной силы на прямолинейном участке вычисляется с помощью определённого интеграла от модуля силы;

 работа переменной силы

,

изменяющейся от точки к точке (в этом случае пространство Охуz называется силовым векторным полем), по перемещению материальной точки по дуге АВ вычисляется с помощью криволинейного интеграла по формуле

где

Свойства криволинейного интеграла

1. При изменении направления дуги АВ на противоположное криволинейный интеграл меняет свой знак, сохраняя абсолютную величину:

Действительно, все слагаемые интегральной суммы (5), пределом которой является линейный интеграл, изменят свой знак на противоположный, т.е. криволинейный интеграл второго типа является ориентированным.

2. Составной интеграл (6) равен сумме трёх простых линейных интегралов

Мы пользовались этим свойством при доказательстве теоремы существования (см. формулы (7)).

3. Если дугу АВ разбить точками А1, А2, …, Аk на конечное число составляющих дуг (см. рис. 4), то криволинейный интеграл по кривой АВ равен сумме интегралов по составляющим дугам (свойство аддитивности), т.е.

В механике и физике такой интеграл носит название циркуляции вектора вдоль замкнутого контура L (

При этом ориентация контура считается положительной, когда обход контура происходит против часовой стрелки. Если в условии задачи ничего не говорится о направлении обхода контура, он предполагается положительным.

Замечание 2. В двухмерном пространстве, в частности на плоскости хоу, путь интегрирования АВ обычно задаётся функцией у =f(x). В качестве параметра в этом случае удобно взять независимую переменную х. Тогда параметрические уравнения кривой будут x = x, у =f(x), где х₁ < x < x₂ при условии, что координаты точек А(х₁, у₁), В(х₂, у₂) известны. В противном случае их надо найти согласно условию задачи. Формула (10) в этой ситуации примет вид

В частности,

Пример 5. Вычислить , где L — эллипс , пробегаемый против часовой стрелки (обозначать этот факт можно знаком L+).

Решение. Запишем уравнение эллипса в параметрической форме

где

Найдём дифференциалы для каждой переменной:

dx = –asintdt, dy = bcostdt.

Перейдём к определённому интегралу и вычислим его:

Пример 6. Вычислить где L — контур треугольника с вершинами О(0, 0), А(1, 0), В(0, 1).

Решение. Построим треугольник и воспользуемся свойством аддитивности, разбив кусочно-гладкий контур L на участки ОА, АВ, ВО. На каждом из них укажем направление интегрирования (см. рис 5).

Символически интеграл можно записать в виде трёх слагаемых:

Подготовим параметрическую запись каждого из линейных участков:

 ОА — это часть оси Ох (уравнение которой у = 0), где изменяется только переменная х, её и возьмём в качестве параметра. Тогда

у = 0, х = t, где t₀ = 0, t_A = 1,

dy = 0, dx = dt;

 АВ — прямая, отсекающая равные отрезки на осях координат. Используя уравнение , имеем х + у = 1.

Пусть х = t, тогда у = 1  t, где t_A = 1, t_B = 0, соответственно

dx = dt, dy =  dt;

 BO — участок оси Оу, т.е. у — изменяющаяся переменная, её и возьмём в качестве параметра. Тогда

y = t, x = 0, где t_B = 1, t_О = 0;

dy = dt, dx = 0.

Вычисляем криволинейный интеграл, записав его в виде суммы определённых интегралов:

Изменив у первого интеграла ориентацию, получим все слагаемые с одинаковыми пределами:

Пример 7. Вычислить где L — линия пересечения поверхностей y = x² и z = xy от точки О(0, 0, 0) до точки A(2, 4, 8).

Решение. Запишем уравнения линии L в параметрической форме: пусть х = t, тогда у = t², z = t³, где t₀ = x₀ = 0, t_A = x_A = 2.

Приведём криволинейный интеграл к определённому, используя параметрическое задание кривой, предварительно найдём дифференциалы:

dx = dt, dy = 2tdt, dz = 3t²dt;

Пример 8. Вычислить интеграл где L — отрезок прямой от точки (1, 1, 1) до точки (2, 3, 4).

Решение. Найдём уравнение пути интегрирования как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

которое затем перепишем в параметрическом виде

х = t + 1, y = 2t + 1, z = 3t + 1,

где начальное значение параметра t = 0 соответствует точке (1, 1, 1), а конечное значение параметра t = 1 соответствует точке (2, 3, 4).

Дифференцируем параметрические соотношения

dx = dt, dy = 2dt, dz = 3dt.

Подготовительный этап на этом заканчивается. Приступаем к вычислению криволинейного интеграла, переведя его в определённый интеграл: