ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование»

Ахметжанова Г.В., Павлова Е.С., Кошелева Н.Н.

Теоретический материал по высшей математике

Часть III

Тольятти 2007

УДК 51(075.8)

ББК 22.1я.73

Т 93

Научный редактор

д.т.н., профессор П.Ф.Зибров

Т-93 Теоретический материал по высшей математике: учебно-методическое пособие для студента. Часть III. Сост.: Ахметжанова Г.В., Кошелева Н.Н., Павлова Е.С., - Тольятти: ТГУ, 2007 стр.

Утверждено научно-методическим советом факультета математики и информатики Тольяттинского государственного университета.

УДК 51(075.8)

ББК 22.1я173

 Тольяттинский Государственный Университет

Содержание

Модуль 9. Дифференциальные уравнения 4

1. Дифференциальные уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными 4

1.1. Дифференциальные уравнения I порядка. Общие понятия 4

1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 5

2. Однородные дифференциальные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах 10

2.1. Однородные дифференциальные уравнения I порядка 10

2.2. Уравнения в полных дифференциалах 14

3. Линейные дифференциальные уравнения  порядка. Уравнения Бернулли 17

3.1. Линейные дифференциальные уравнения  порядка 17

3.2. Уравнения Бернулли 20

4. Дифференциальные уравнения  порядка, допускающие понижение порядка 21

4.1. Дифференциальные уравнения  порядка. Общие понятия 21

4.2. Уравнения  порядка, допускающие понижение порядка 22

5. Линейные дифференциальные уравнения  порядка коэффициентами 26

5.1. Однородные линейные уравнения  порядка с постоянными коэффициентами 26

5.2. Неоднородные линейные уравнения ІІ порядка с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера вариации произвольных постоянных 29

6. Линейные неоднородные уравнения ІІ порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа неопределенных коэффициентов 30

7. Системы дифференциальных уравнений 36

7.1 Нормальная система дифференциальных уравнений 36

Модуль 10. Кратные интегралы 39

1. Двойной интеграл 39

1.1. Объём цилиндрического тела 39

1.2. Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах 41

1.3. Вычисление двойных интегралов в полярных координатах 47

1.4. Приложения двойных интегралов к задачам механики 49

1.5. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов. 51

1.6. Вычисление площади поверхности. 53

2. Тройной интеграл 55

2.1. Масса неоднородного тела 55

2.2. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах. 56

2.3. Вычисления тройных интегралов в цилиндрических координатах. 58

2.4. Вычисление тройных интегралов в сферических координатах 59

2.5. Приложение тройных интегралов. 60

Модуль 11. Криволинейные и поверхностные интегралы 63

1. Криволинейные интегралы 63

1.1. Криволинейный интеграл первого типа (по длине дуги) 63

1.2. Криволинейный интеграл второго типа (по координатам) 66

1.3. Формула Грина 71

1.4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования 74

1.5. Связь между криволинейными интегралами первого и второго типов 78

2. Поверхностные интегралы 82

2.1. Поверхностные интегралы первого типа 82

2.2. Понятие двухсторонней поверхности. Ориентация поверхности 85

2.3. Поверхностный интеграл второго типа (по проекциям) 87

2.4. Связь поверхностных интегралов I и II типов 90

2.5. Формула Остроградского 92

3. Основные понятия теории поля 96

Список литературы 112