2.3 Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0. Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое-либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Используя, вид матриц распишем выражение  в следующем виде:

Значит - определитель, полученный

из заменой -ого столбца свободными членами

.

Формулы (5) называют формулами Крамера.

Пример. Решите систему линейных уравнений:

• Метод обратной матрицы.

• Формулы Крамера.

Ранг матрицы

Выделим произвольно t-строк и t-столбцов. Определитель порядка , составленный из элементов стоящих на пересечении выделенных -строк и -столбцов называется порожденным матрицей .

Пример:

Рангом матрицы называется натуральное число равное наибольшему из порядков определителей отличных от нуля среди порожденных данной матрицей.

Если , значит

1. Существует определитель порядка ;

2. Все определители порядка больше чем r обращается в нуль.

Теорема о ранге матрицы.

Ранг матрицы не изменится, если:

1. Строки заменить столбцами(транспонировать);

2. Поменять местами два столбца (строки);

3. Умножить каждый элемент столбца на одно и тоже число отличное от нуля.

4. Сложить два столбца(строки) .

Доказательство теоремы полностью основывается на свойствах определителей.

Вычисление ранга матрицы.

Преобразование матрицы в трапециевидную.

Лекция 4. Исследование систем линейных уравнений

Определение. Система уравнений с неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

,

где – коэффициенты, а – постоянные. Решениями системы являются чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений матрица

называется матрицей системы, а матрица

называется расширенной матрицей системы

К элементарным преобразованиям относятся:

1) Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2) Перестановка уравнений местами.

3) Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех

1. Теорема Кронекера – Капели (условие совместности системы)

Для того чтобы система линейных уравнений была совместна необходимо и достаточно чтобы ранг её матрицы был равен рангу расширенной матрицы системы .

Если ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Если ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы, но меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное число решений.

Если ранг матрицы меньше ранга расширенной матрицы и равен числу неизвестных, то система не имеет решения.

.

Решаем данную систему так:

1. Выделим любые r уравнений и r неизвестных, но так чтобы определитель был отличен от нуля.

- основные (базисные) переменные;

- свободные переменные.

2. Перенесем слагаемые со свободными неизвестными в правую часть.

3. Решим полученную систему относительно основных переменных, предавая свободным переменным произвольные значения, получим для основных переменных бесконечное множество решений.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:

Система несовместна.

Пример: Исследовать и решить систему уравнений.

- система имеет бесчисленное множество решений.

- основные переменные, (первые два уравнения);

- свободные переменные.