Непрерывные отображения
Пусть
и
- топологические пространства, и пусть
- отображение пространства
в
.
f:
.
Непрерывность отображения состоит в том, что точки, близкие друг к другу в множестве , отображаются в точки, близкие друг к другу в множестве .
Определение.
Отображение
:
называется непрерывным в точке
,
если для любой окрестности
точки
в множестве
существует такая окрестность
точки в множестве
,
что
.
Отображение
называется непрерывным, если оно
непрерывно в каждой точке пространства
.
Особое значение имеют те непрерывности отображения, для которых существует непрерывное обратное отображение.
Определение.
Если
- взаимно однозначное отображение
пространства
в
,
то существует обратное отображение g
пространства
в
.
Если и
и
непрерывны, то отображение
называется гомеоморфизмом, а пространства
и
- гомеоморфные.
Гомеоморфизм между множествами устанавливает взаимно однозначное соответствие между окрестностями, закрытыми и открытыми подмножествами этих множеств.
Топологические произведения
Пусть
и
- топологические пространства. Множество
определяется как множество пар
,
где
,
a
.
Оно превращается в топологическое
пространство следующим образом: если
,
то окрестность точки
- это любое множество, содержащее
множество вида
,
где
- окрестность точки
в
,
a
- окрестность
в
.
Определение. Множество , превращенное в топологическое пространство только что описанным способом, называется топологическим произведением пространств и .
Например, в трехмерном евклидово пространстве тор является топологическим произведением окружности на себя.
Связность
Определение. Пространство называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся множеств, открытых в . Множество в топологическом пространстве называется связным, если оно связно как подпространство.
Если и - связные пространства, то произведение также связно.
Компактность
Понятие компактности обобщает свойство быть замкнутым и ограниченным множеством в евклидовом пространстве.
Определение. Топологическое пространство
называется хаусдорфовым, если оно
обладает следующим свойством: каковы
бы ни были две различные точки
и
,
существует такая окрестность
точки
и такая окрестность
точки
,
что
.
Любое евклидово пространство является хаусдорфовым.
Любое подпространство евклидова пространства хаусдорфово. На самом деле любое подпространство любого хаусдорфова пространства хаусдорфово. Прежде чем определять компактность, приведем несколько предварительных определений.
Определение. Покрытие топологического пространства - набор множеств из , объединение которых дает все пространство . Оно называется открытым покрытием, если каждое множество в наборе открыто.
Определение. Пусть дано покрытие топологического пространства. Подпокрытием называется покрытие, все множества которого принадлежат данному покрытию.
Определение. Компактным пространством называется хаусдорфово пространство, обладающее тем свойством, что каждое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие, т.е. покрытие, состоящее из конечного числа множеств. Множество в топологическом пространстве называется компактным, если оно является компактным подпространством.
Компактное подмножество евклидова
пространства должно быть замкнутым и
ограниченным. Если перемножаемые
компактные пространства
и
лежат в евклидовых пространствах
размерностей
и
,
то их произведение есть подпространство
в
-мерном
пространстве. Так как пространства
и
компактны, они замкнуты и ограничены.
Поэтому их произведение является
замкнутым и ограниченным подмножеством
евклидова пространства. Следовательно,
компактно.