Булевы функции

Определение. Булевой функцией называется произвольная n - местная функция, аргументы и значения которой принадлежат множеству .

Вообще говоря между логическими высказываниями, логическими связками и булевыми функциями просматривается явная аналогия. Если логические функции могут принимать значения истинно или ложно, то для булевой функции аналогами этих значений будут значения 0 или 1.

Для булевых функций также можно составить таблицы значений, соответствующим основным логическим операциям.

X1	X2	ØX1	X1&X2	X1ÚX2	X1ÞX2	X1ÛX2
1	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	0	1	1	0
0	0	1	0	0	1	1

Исчисление предикатов

Определение. Предикатом называется функция, переменные которой принимают значения из некоторого множества , а сама функция принимает два значения: (истина) и (ложь), т.е.

Предикат от аргументов называется - местным предикатом. Высказывания считаются нуль - местными предикатами.

Над предикатами можно производить обычные логические операции, в результате которых получаются новые предикаты.

Кроме обычных логических операций к предикатам применяются также специальные операции, называемые кванторами.

Кванторы бывают двух видов:

1. Квантор общности. Обозначается . Квантором общности называется высказывание истинное, когда истинно для каждого элемента х из множества , и ложное - противном случае.

2. Квантор существования. Обозначается . Квантором существования называется высказывание, истинное, когда существует элемент из множества М, для которого истинно, и ложное в противном случае.

Операцию связывания квантором можно применять и к предикатам от большего числа переменных.

Для формул логики предикатов сохраняется справедливость всех правил равносильных преобразований логики высказываний. Кроме того, справедливы следующие свойства:

Перенос квантора через отрицание.

; ;

Вынесение квантора за скобки.

; ;

; ;

3) Перестановка одноименных кванторов.

; ;

Переименование связанных переменных. Если заменить связанную переменную формулы другой переменной, не входящей в эту формулу, в кванторе и всюду в области действия квантора получаем формулу, равносильную .

Исчисление предикатов базируется на приведенных выше свойствах и правилах, называемых аксиомами.

Какими бы ни были формулы А и В для них справедливы следующие аксиомы:

1) ;

2)

3)

4) , где формула не содержит переменной .

5) , где формула не содержит переменной .

Дискретная математика Конечные графы и сети

Основные определения

Определение. Если на плоскости задать конечное множество точек и конечный набор линий , соединяющих некоторые пары из точек , то полученная совокупность точек и линий будет называться графом.

При этом элементы множества называются вершинами графа, а элементы множества - ребрами.

В множестве могут встречаться одинаковые элементы, ребра, соединяющие одинаковые элементы называются петлями. Одинаковые пары в множестве называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых пар в называется кратностью ребра .

Множество и набор определяют граф с кратными ребрами - псевдограф.

Псевдограф без петель называется мультиграфом.

Если в наборе ни одна пара не встречается более одного раза, то мультиграф называется графом.

Если пары в наборе являются упорядочными, то граф называется ориентированным или орграфом.

Графу соответствует геометрическая конфигурация. Вершины обозначаются точками (кружочками), а ребра - линиями, соединяющими соответствующие вершины.

Определение. Если - ребро графа, то вершины v, w называются концами ребра х. Если - дуга орграфа, то вершина v - начало, а вершина w - конец дуги х.

Определение. Вершины графа называются смежными, если . Два ребра называются смежными, если они имеют общую вершину.

Определение. Степенью вершины графа называется число ребер, которым эта вершина принадлежит. Вершина называется изолированной, если ее степень равна единице и висячей, если ее степень равна нулю.

Определение. Графы и называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение , сохраняющее смежность.

Определение. Маршрутом (путем) для графа называется последовательность . Маршрут называется замкнутым, если его начальная и конечная точки совпадают. Число ребер (дуг) маршрута (пути) графа называется длиной маршрута (пути).

Определение. Незамкнутый маршрут (путь) называется цепью. Цепь, в которой все вершины попарно различны, называется простой цепью.

Определение. Замкнутый маршрут (путь) называется циклом (контуром). Цикл, в котором все вершины попарно различны, называется простым циклом.