4. Свойства условного оператора

Введем сначала определения коммутативности и идемпотентности.

Определение. Две команды γ₀ и γ₁ коммутативны, если γ₀∘γ₁ = γ₁∘γ₀ . Команда γ и выражение ω коммутативны, если ω ≡ ω ∘ γ. т.е. выражение имеет то же самое значение до или после выполнения команды.

Два выражения всегда коммутируют, т.к. вычисление одного не может влиять на другое (положение меняется, когда допускается побочный эффект).

Определение. Команда γ идемпотентна, если γ∘γ ≡ γ. Таким образом, идемпотентность команды означает, что выполнение ее более, чем один раз, ничего не меняет.

Пусть b обозначает истинностное значение, а греческие буквы обозначают элементы подходящей области (например, (S→S) - для условных команд или (S → T) - для условных выражений).

Полагаем, что значения всех команд и выражений – строгие функции.

(1) Левая факторизация:

γ₀∘(b → γ₁,γ₂) = b → γ₀∘γ₁,γ₀∘γ₂

(2) Если γ коммутирует с ω, то

(λσ.ωσ → pσ,qσ)∘γ = (λσ.ωσ → (p∘γ)σ,(q∘γ)σ).

(3) b →( b → γ₀,γ₁),( b → γ₂,γ₃)= b → γ₀,( b → γ₂,γ₃) =

= b → ( b → γ₀,γ₁), γ₃ = b → γ₀,γ₃

(4) Если ω коммутирует с γ₂ и γ₃, то

(λσ.ωσ → γ₀σ,γ₁σ)∘( λσ.ωσ → γ₂σ,γ₃σ) =

= (λσ.ωσ → (γ₀∘γ₂)σ, (γ₁∘γ₃)σ)

(5) Если ω₀ и ω₁ имеют допустимые подходящие значения на σ₀, то

ω₁σ₀ → (λσ.ω₀σ → γ₀σ,γ₁σ), ( λσ.ω₀σ → γ₂σ,γ₃σ) =

ω₀σ₀ → (λσ.ω₁σ → γ₀σ,γ₂σ), ( λσ.ω₁σ → γ₁σ,γ₃σ)

Все эти свойства могут быть легко доказаны простой подстановкой в левую и правую части всех возможных проверяемых значений.

Правило (3) дает упрощение для вложенных условий; (4) позволяет объединить два условных оператора в один; (5) говорит о том, что вложенные условные операторы могут быть вынесены наружу.

5. Примеры решения задач методами денотационной семантики

1. С[while E do C od ] = C[if E then C; while E do C od else e fi]

Решение:

С[while E do C od] = fix(λγ.λδ.ωδ→γ∙γ₁δ,δ) = fix H = ỹ,

где H = λγ.λδ.ωδ→γ∙γ₁δ,δ

Введём следующие обозначения E[E]=ω ; C[C] = γ₁

л.ч. = ỹ

п.ч. = λδ.ωδ→ ỹ ∙γ₁δ,δ

Подстовляя ỹ в H получим:

л.ч. = ỹ = H(ỹ) = λγ.λδ.ωδ→ ỹ ∙γ₁δ,δ = п.ч. ,

откуда вытекает искомое равенство.

2. C[repeat C until E]=C[C; if E then e else repeat C until E fi]

Введём те же самые обозначения, что и в примере 1

C[repeat C until E] = fix (λγ.(λδ.ωδ→ δ, γδ)∙γ₁)

л. ч. = ỹ

п. ч. = С[if E then e else repeat C until E fi] ∙ C[C] = (λδ.ωδ→ δ, ỹδ)∙γ₁

Подстовляя ỹ в H, получим:

л. ч. = ỹ =H(ỹ) =(λδ.ωδ→ δ, ỹδ)∙γ₁ = п.ч.

откуда вытекает искомое равенство.

3. С[while E do C od ] = С[while E do C od; if E then C else e fi]

Решение:

Введём те же самые обозначения, что и в примере 1

л.ч. = fix H = ỹ, где H = λγ.λδ.ωδ→γ∙γ₁δ,δ

п.ч. = C[if E then C else e fi] ∙ С[while E do C od] = λδ.ωδ→ γ₁δ,δ ∙ ỹ

Требуется доказать, что

ỹ = λδ.ωδ→ γ₁δ,δ ∙ ỹ

Доказательство проведём методом индукции фиксированной точки

Пусть q(x) ≡ x = (λδ.ωδ→ γ₁δ,δ) ∙x

0. q(_┴) = справиделиво, т.к.

q(_┴) ≡ _┴ = (λδ.ωδ→ γ₁δ,δ) ∙_┴ = (λδ.ωδ→ γ₁δ,δ) ∙(_┴) = _┴ , т. к.

ф-ция (λδ.ωδ→ γ₁δ,δ) строгая

3.2 Пусть q(_┴) – справедливо, т.е. x = (λδ.ωδ→ γ₁δ,δ) ∙x

Тогда q(H(x)) ≡ H(x) = (λδ.ωδ→ γ₁δ,δ) ∙H(x)

Покажем, что q(H(x)) – справедливо

л.ч. = H(x) = λδ.ωδ→ x∙γ₁δ,δ

п.ч. = (λδ.ωδ→ γ₁δ,δ) ∙ (λδ.ωδ→ x∙γ₁δ,δ) =

= λδ.ωδ→(λδ.ωδ→ γ₁δ,δ) ∙x∙γ₁δ, (λδ.ωδ→ x∙γ₁δ,δ) δ =

= λδ.ωδ→( λδ.ωδ→ γ₁δ,δ) ∙x∙γ₁δ, (ωδ→ x∙γ₁δ,δ)=

По предположению о том, что x = (λδ.ωδ→ γ₁δ,δ) ∙x

= λδ.ωδ→x∙γ₁δ, (ωδ→ x∙γ₁δ,δ)= λδ.ωδ→x∙γ₁δ, δ= H(x)

ч.т.д.

Из справедливости свойств 1 и 2 заключаем, что q(fix H) – справедливо,

т.е. fix H = (λδ.ωδ→γ₁δ, δ) ∙ fix H, а следовательно ỹ = (λδ.ωδ→ γ₁δ,δ) ∙ ỹ, ч.т.д.

4. C[if E then repeat C until ¬E else e fi] = С[while E do C od ]

Решение

E[E]=ω ; C[C] = γ₁

С[while E do C od] = fix(λγ.λδ.ωδ→γ∙γ₁δ,δ) = fix H = ỹ,

где H = λγ.λδ.ωδ→γ∙γ₁δ,δ

C[repeat C until ¬E] = fix(λγ.(λδ.E[¬E]δ→ δ, γδ) ∙γ₁) =

= fix(λγ.(λδ.E[E]δ→ γδ, δ) ∙γ₁), т.к. ранее было доказано утверждение

λδ.E[¬E]δ → γ₁δ, γ₂δ = λδ.E[E]δ → γ₂δ, γ₁δ

Далее имеем: C[repeat C until ¬E] = fix(fix(λγ.(λδ.ωδ→ γδ, δ) ∙γ₁) =

= fix H₂ = ỹ₂, где H₂ = λγ.(λδ.ωδ → γδ, δ) ∙γ₁

Таким образом, получаем:

л.ч. = λγ.λδ.ωδ→ ỹ₂δ,δ

п.ч. = ỹ₁

Доказательство проведём методом индукции по двум фиксированным точкам.

Пусть q(x,y) ≡ λδ.ωδ→ xδ,δ = y

Свойство 1. q(_┴,┴) – не выполняется, т.к. λδ.ωδ→ _┴ δ,δ ≠ _┴

Преобразуем правую часть следующим образом ỹ₁ = H(ỹ₁) = λδ.ωδ→ ỹ₁∙γ₁δ,δ

Из сравнения этого выражения с левой частью следует, то для доказательства утверждения требуется доказать, что.

ỹ₂ = ỹ₁∙γ₁

Доказательство индукцией по двум фиксированным точкам.

4.1 q(_┴,┴) ≡ _┴ = _┴∙γ₁ – справедливо

4.2 Пусть q(x,y) ≡ x = y∙γ₁ – справедливо

Покажем, что q(H₂(x),H₁(y)) – справедливо,

Т.е. H₂(x) = H₁(y) ∙γ₁

л.ч. = H₂(x) = (λδ.ωδ → xδ, δ) ∙γ₁

п.ч. = H₁(y) ∙γ₁ = (λδ.ωδ→y∙γ₁δ,δ) ∙γ₁ =

по предположению о справедливости q(x,y)

=(λδ.ωδ→x δ,δ) ∙γ₁ = л.ч.

ч.т.д

5. С[while E do C₁ od; C₂ ]

= С[while E do C₁ od; if E then C₁ else C₂ fi]

Решение:

E[E]=ω ; C[C₁] = γ₁; C[C₂] = γ₂

С[while E do C₁ od] = fix(λγ.λδ.ωδ→γ∙γ₁δ,δ) = fix H = ỹ,

где H = λγ.λδ.ωδ→γ∙γ₁δ,δ

л.ч. = C[C₂] ∙ С[while E do C₁ od] = γ₂ ∙ ỹ₁

п.ч. = C[if E then C₁ else C₂ fi] ∙ С[while E do C₁ od] = (λδ.ωδ→γ₁δ, γ₂δ) ∙ ỹ₁

Таким образом, требуется доказать, что γ₂ ∙ ỹ₁ = (λδ.ωδ→γ₁δ, γ₂δ) ∙ ỹ₁

Доказательство проведём методом индукции фиксированной точки

Пусть q(x) ≡ γ₂ ∙ x = (λδ.ωδ→γ₁δ, γ₂δ) ∙ x

5.1 q(_┴) ≡ γ₂ ∙ _┴ = (λδ.ωδ→γ₁δ, γ₂δ) ∙ _┴ - справедливо

5.2 Пусть q(x) ≡ γ₂ ∙ x = (λδ.ωδ→γ₁δ, γ₂δ) ∙ x – справедливо

Покажем, что q(H₁(x)) ≡ γ₂ ∙ H₁(x) = (λδ.ωδ→γ₁δ, γ₂δ) ∙ H₁(x) – справедливо

л.ч. = γ₂ ∙ H₁(x) = γ₂ ∙ (λδ.ωδ→x∙γ₁δ, δ)= (левая факторизация)

= λδ.ωδ→ γ₂∙x∙γ₁δ, γ₂ δ

п.ч. = (λδ.ωδ→γ₁δ, γ₂δ) ∙ (λδ.ωδ→x∙γ₁δ, δ) = λδ.ωδ→(λδ.ωδ→γ₁δ, γ₂δ) ∙x∙γ₁δ, (λδ.ωδ→γ₁δ, γ₂δ) δ = (по предположению о справедливости q(x))

= λδ.ωδ→γ₂∙x∙γ₁δ, (ωδ→γ₁δ, γ₂δ) = (по 3 свойству усл. оператора)

= λδ.ωδ→γ₂∙x∙γ₁δ,γ₂δ = л.ч.

А следовательно, q(fix H₁) = q(ỹ₁) ≡ γ₂ ∙ ỹ₁ = (λδ.ωδ→γ₁δ, γ₂δ) ∙ ỹ₁ –справедливо,

ч.т.д.

6. С[while E do C₁ od; while E do C₂ od;] = С[while E do C₁ od;]

Решение

Пусть E[E]=ω ; C[C₁] = γ₁; C[C₂] = γ₂

С[while E do C₁ od;] = fix(λγ.λδ.ωδ→γ∙γ₁δ,δ) = fix H₁ = ỹ₁,

где H₁ = λγ.λδ.ωδ→γ∙γ₁δ,δ

С[while E do C₂ od;] = fix(λγ.λδ.ωδ→γ∙γ₁δ,δ) = fix H₂ = ỹ₂,

где H₂ = λγ.λδ.ωδ→γ∙γ₁δ,δ

л.ч. = С[while E do C₂ od;] ∙ С[while E do C₁ od;] = ỹ₂∙ ỹ₁

п.ч. = ỹ₁

Таким образом, требуется доказать что: ỹ₂∙ ỹ₁ = ỹ₁

Доказательство проведём методом индукции фиксированной точки

Пусть q(x) ≡ ỹ₂∙ x = x

6.1. q(_┴) ≡ ỹ₂∙ _┴ = _┴

6.2. Пусть q(x) ≡ ỹ₂∙ x = x – справедливо

Покажем, что q(H₁(x)) ≡ ỹ₂∙ H₁(x) = H₁(x) – справедливо

Л.ч. = ỹ₂∙ H₁(x) = ỹ₂∙ λδ.ωδ→x∙γ₁δ,δ = (лев. факторизация)

= λδ.ωδ→ ỹ₂∙ x∙γ₁δ, ỹ₂δ = (по предположению о справедливости q(x))

= λδ.ωδ→x∙γ₁δ, ỹ₂δ = (по свойству фиксированной точки)

= λδ.ωδ→x∙γ₁δ, H₂(ỹ₂)δ =

= λδ.ωδ→x∙γ₁δ, (λδ.ωδ→ ỹ₂∙γ₂δ,δ) δ =

= λδ.ωδ→x∙γ₁δ, (λδ.ωδ→ ỹ₂∙γ₂δ,δ) = (по 3 свойству условного оператора)

= λδ.ωδ→x∙γ₁δ, δ

п.ч. = H₁(x) = λδ.ωδ→x∙γ₁δ, δ = л.ч.

Из п.1 и п.2 вытекает, что q(fix H₁) = q(ỹ₁) – справедливо, а следовательно

ỹ₂∙ỹ₁ = ỹ₁, ч.т.д.

7. С[while E do C₁; while E do C₂ od od] =

= C[if E then C₁; while E do C₂ od else e fi]

Решение Пусть E[E]=ω ; C[C₁] = γ₁; C[C₂] = γ₂

С[while E do C₂ od;] = fix(λγ.λδ.ωδ→γ∙γ₁δ,δ) = fix H₂ = ỹ₂,

где H₂ = λγ.λδ.ωδ→γ∙γ₁δ,δ

С[while E do C₁; while E do C₂ od od] = fix H₁ = ỹ₁,

Где H₁ = λγ.λδ.ωδ→γ∙ С[C₁; while E do C₂ od]δ,δ =

= λγ.λδ.ωδ→γ∙ С[while E do C₂ od]∙С[C₁]δ,δ =

= λγ.λδ.ωδ→γ∙ ỹ₂∙ γ₁δ,δ

л.ч. = ỹ₁

п.ч. = λδ.ωδ→ С[while E do C₂ od]∙С[C₁]δ,δ =

= λγ.λδ.ωδ→ỹ₂∙ γ₁δ,δ

По свойству фиксированной точки имеем:

Л.ч. = ỹ₁ = H₁(ỹ₁) = λγ.λδ.ωδ→ ỹ₁∙ ỹ₂∙ γ₁δ,δ

Таким образом, для доказательства искомого утверждения необходимо доказать, что ỹ₂∙ γ₁ = ỹ1∙ ỹ2∙ γ1, для чего достаточно доказать, что ỹ₂ = ỹ1∙ ỹ2

Доказательство: см. решение задачи 6.

7. С[while E do C₁; while E do C₂ od od] =

= C[if E then C₁ else e fi; while E do C₂ od]

Решение Пусть E[E]=ω ; C[C₁] = γ₁; C[C₂] = γ₂

л.ч. = fix H₁ = ỹ₁, где H₁ = λγ.λδ.ωδ→ γ∙ ỹ₂∙ γ₁δ,δ

п.ч. = ỹ₂∙ (λδ.ωδ→ γ₁δ,δ) , где ỹ₂ = fix H₂, H₂ = λγ.λδ.ωδ→ γ∙γ₂δ,δ

Таким образом, требуется доказать, что

ỹ₁ = ỹ₂∙ (λδ.ωδ→ γ₁δ,δ)

По свойству фиксированных точек:

л.ч. = ỹ₁ = H₁(ỹ₁) = λγ.λδ.ωδ→ ỹ₁∙ ỹ₂∙ γ₁δ,δ

п.ч. = ỹ₂∙ (λδ.ωδ→ γ₁δ,δ) = (левая факторизация)

= λδ.ωδ→ ỹ₂∙ γ₁δ, ỹ₂∙ δ = λδ.ωδ→ ỹ₂∙ γ₁δ, H₂(ỹ₂)∙ δ =

= λδ.ωδ→ ỹ₂∙ γ₁δ, (λδ.ωδ→ ỹ₂∙γ₂δ,δ)δ = λδ.ωδ→ ỹ₂∙ γ₁δ, ωδ→ ỹ₂∙γ₂δ,δ =

(По 3-ему свойству условного оператора)

= λδ.ωδ→ ỹ₂∙ γ₁δ,δ

Таким образом, для доказательства искомого утверждения необходимо показать, что: ỹ₁∙ ỹ₂∙ γ₁ = ỹ₂∙ γ₁, для чего достаточно доказать, что ỹ₁∙ ỹ₂= ỹ₂

Доказательство: См. решение задачи 6

7. С[repeat C₁ until E; if E then C₂ else e fi] =

= C[C₁; until E do C₁ od; C₂]

Решение:

E[E]=ω ; C[C₁] = γ₁; C[C₂] = γ₂

С[repeat C₁ until E] = fix H₁ = ỹ₁, где H₁ = λγ.(λδ.ωδ→ δ, γδ)∙γ₁

С[if E then C₂ else e fi] = λδ.ωδ→ γ₂δ,δ

C[until E do C₁ od] = fix H₂ = ỹ₂, где

H₂ = λγ.λδ.ωδ→ δ, γ∙γ₁δ

Л.ч. = (λδ.ωδ→ γ₂δ,δ)∙ ỹ₁

П.ч. = γ₂∙ ỹ₂∙ γ₁

Таким образом, требуется доказать, что:

(λδ.ωδ→ γ₂δ,δ)∙ ỹ₁ = γ₂∙ ỹ₂∙ γ₁

Доказательство проведём методом индукции по двум фиксированным точкам.

Пусть q(x,y) ≡ (λδ.ωδ→ γ₂δ,δ)∙x = γ₂∙ y ∙ γ₁

9.1 q(_┴,_┴) ≡ (λδ.ωδ→ γ₂δ,δ)∙_┴ = γ₂∙ _┴ ∙ γ₁

9.2 Пусть q(x,y) ≡ (λδ.ωδ→ γ₂δ,δ)∙x = γ₂∙ y ∙ γ₁ – справедливо

Покажем, что q(H₁(x),H₂(y)) ≡ (λδ.ωδ→ γ₂δ,δ)∙ H₁(x),= γ₂∙ H₂(y) ∙ γ₁ – справедливо

Л.ч. = (λδ.ωδ→ γ₂δ,δ)∙ (λδ.ωδ→ δ, xδ)∙γ₁ = (левая факторизация) = (λδ.ωδ→(λδ.ωδ→ γ₂δ,δ)δ, (λδ.ωδ→ γ₂δ,δ)∙xδ)∙γ₁ = (по предположению о справедлиовсти q(x,y))

= (λδ.ωδ→(ωδ→ γ₂δ,δ), γ₂∙ ỹ₂∙ γ₁δ)∙γ₁ = (свойство 3 условного оператора)

= (λδ.ωδ→γ₂δ, γ₂∙ ỹ₂∙ γ₁δ)∙γ₁

П.ч. = γ₂∙ H₂(y) ∙ γ₁= γ₂∙ (λδ.ωδ→ δ, γ∙γ₁δ) ∙ γ₁ = (левая факторизация)

= (λδ.ωδ→ γ₂δ, γ₂∙γ∙γ₁δ) ∙ γ₁ = л.ч.

Отсюда следует, что q(fix H₁, fix H₂)=q(ỹ₁, ỹ₂) – справедливо, т.е. имеет место искомое утверждение, ч.т.д.

7. С[repeat C₁ until E; while ¬E do C₂ od] = С[C₁; until E do C₁ od; if E then e else C₃ fi]

Решение: E[E]=ω ; C[C₁] = γ₁; C[C₂] = γ₂; C[C₃] = γ₃

С[repeat C₁ until E] = fix H₁ = ỹ₁, где H₁ = λγ.(λδ.ωδ→ δ, γδ)∙γ₁

С[while ¬E do C₂ od] = fix H₂ = ỹ₂, где H₂ = λγ.λδ.E[¬E]δ→ γ∙γ₂δ,δ =

= λγ.λδ.E[E]δ→ δ,γ∙γ₂δ = λγ.λδ.ωδ→ δ,γ∙γ₂δ

C[until E do C₁ od] = fix H₃ = ỹ₃, где

H₃ = λγ.λδ.ωδ→ δ, γ∙γ₁δ

Л.ч. = ỹ₂∙ ỹ₁

П.ч. = (λδ.ωδ→ δ,γ₃δ) ∙ ỹ₃∙γ₁

Таким образом, требуется доказать, что

ỹ₂∙ ỹ₁ = (λδ.ωδ→ δ,γ₃δ) ∙ ỹ₃∙γ₁

Доказательство проведём методом индукции по двум фиксированным точкам.

Пусть q(x,y) ≡ ỹ₂∙x = (λδ.ωδ→ δ,γ₃δ) ∙ y∙γ₁

10.1 q(_┴,_┴) ≡ ỹ₂∙_┴ = (λδ.ωδ→ δ,γ₃δ) ∙ _┴∙γ₁ - справедливо

10.2 Пусть q(x,y) ≡ ỹ₂∙x = (λδ.ωδ→ δ,γ₃δ) ∙ y∙γ₁ –справедливо

Покажем, что q(H₁(x),H₃(y)) ≡ ỹ₂∙ H₁(x) = (λδ.ωδ→ δ,γ₃δ) ∙H₃(y)∙γ₁ – справедливо

Л.ч. = ỹ₂∙ H₁(x) = ỹ₂∙ (λδ.ωδ→ δ, xδ)∙γ₁ = (левая факторизация)

= (λδ.ωδ→ ỹ₂δ, ỹ₂∙ xδ)∙γ₁ = (по свойству фиксированной точки)

= (λδ.ωδ→ H₂(ỹ₂)δ, ỹ₂∙ xδ)∙γ₁ =

= (λδ.ωδ→ (λδ. ωδ→ δ, ỹ₂∙γ₂δ)δ, ỹ₂∙xδ)∙γ₁ =

= (λδ.ωδ→ (λδ. ωδ→ δ, ỹ₂∙γ₂δ), ỹ₂∙xδ)∙γ₁ = (3-е свойство усл. оператора)

= (λδ.ωδ→ δ, ỹ₂∙xδ)∙γ_1.

П.ч. = (λδ.ωδ→ δ,γ₃δ)∙(λδ.ωδ→ δ, γ∙γ₁δ) ∙γ₁ = (лев. факторизация)

= (λδ.ωδ→ (λδ.ωδ→ δ,γ₃δ)δ, (λδ.ωδ→ δ,γ₃δ)∙γ∙γ₁δ ∙)γ₁ = (в силу предположения о справедливости q(x,y))

= (λδ.ωδ→ (ωδ→ δ,γ₃δ), ỹ₂∙x δ) ∙γ₁ (3-е свойство условного оператора)

= (λδ.ωδ→ δ,ỹ₂∙x δ) ∙γ₁ = л.ч.

Отсюда следует, что

q(fix H₁,fix H₃) = fix(ỹ₁,ỹ₃) – справедливо, т.е. имеет место искомое утверждение

ỹ₂∙ ỹ₁ = (λδ.ωδ→ δ,γ₃δ) ∙ ỹ₃∙γ₁ ч.т.д.

Литература.

1. Кораблин Ю.П., Семантика языков программирования, М., изд-во МЭИ, 1992, 100 стр.

2. Кораблин Ю.П., Куликова Н.Л.,Чумакова Е.В., Семантические методы анализа программ, М., изд-во РГСУ, 2008, 85 стр.