21.Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.

Пусть f(x) определена на [a,) и интегрируема по Риману на любом [a,b]  [a, ), где -∞ < a <  ≤ +∞, a ≤ b <. Имеет место следующая теорема.

Теорема (критерий Коши сходимости несобственных интегралов)



Для того, чтобы ∫ f(x)dx сходился необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0

a b₂

существовало δ = δ(ε) >0 , что если -δ <b₁<  и -δ <b₂< , то ׀ ∫ f(x)dx ׀< ε

b₁

Доказательство.

b 

Пусть φ(b) = ∫ f(x)dx, где a < b <. Тогда, сходимость интеграла ∫ f(x)dx равнозначна

a a

существованию конечного предела lim φ(b). Воспользуемся критерием Коши

b -0

существования предела функции: для того, чтобы существовал lim φ(b) необходимо и

b -0

достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало δ>0, что если -δ <b₁<  и -δ <b₂< ,

b₂ b₁ b₂ a a

то ׀ φ(b₂)- φ(b₁) ׀ < ε. Так как φ(b₂)- φ(b₁)= ∫ f(x)dx - ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx +

a a a b₁ b₁

b₂ b₂ b₂

∫ f(x)dx= ∫ f(x)dx. Из условия ׀ φ(b₂)- φ(b₁) ׀ < ε следует, что ׀ ∫ f(x)dx ׀< ε.

a b₁ b₁

Что и требовалось доказать.

Замечание.

Этот критерий чаще всего используется в теоретических выкладках, а также при  доказательстве расходимости несобственных интегралов, то есть ∫ f(x)dx расходится, если существует такое ε>0, что для любых b₁€[a, ), для любых b₂€[a, ) ׀ ∫ f(x)dx ׀ ≥ε. b₁

22.Несобственные интегралы от неотрицательных функций.



Будем рассматривать несобственные интегралы ∫ f(x)dx, где  - единственная особая

a

точка и f(x) неотрицательная на [a, ) функция.

Теорема (критерий сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функции)

Пусть f(x) принимает на [a, ) неотрицательные значения и является интегрируемой по Риману (существует определенный интеграл) на любом [a,b]  [a, ). Несобственный



интеграл ∫ f(x)dx сходится тогда и только тогда, когда существует M>0, что для любого

a b  b

b€[a, ) выполняется неравенство ∫ f(x)dx ≤M. При этом интеграл ∫ f(x)dx = sup { ∫ f(x)dx }.

a a a ≤ b ≤  a

Доказательство.

b

Рассмотрим функции φ(b)= ∫ f(x)dx, b€[a, ), то есть является интегралом с переменным

a

верхним пределом. Покажем, что φ(b) возрастает на [a, ). Для чего возьмем любые значения b_1,b₂€[a, ) и пусть b₁<b₂. Тогда покажем φ(b₁)<φ(b₂) или φ(b₂)- φ(b₁)>0. Имеем

b₂ b₁ b₂ b

φ(b₂)- φ(b₁)= ∫ f(x)dx - ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx ≥ 0. Если φ(b)= ∫ f(x)dx ≤M, то есть φ(b) ограничена

a a b₁ a

сверху, то по теореме о пределе монотонной функции существует предел φ(b), когда

b b

b -0, то есть lim φ(b) = lim ∫ f(x)dx = sup { ∫ f(x)dx }≤M. Достаточность доказана.

b -0 a a ≤ b ≤  a

Необходимость.

 b

Пусть несобственный интеграл ∫ f(x)dx сходится. Тогда существует lim φ(b) = lim ∫ f(x)dx=

a b -0 b -0 a

I,I € R. Значит существует окрестность (-δ, ), на которой функция φ(b) ограничена, а δ является некоторым положительным действительным числом. Возьмем любое b €(-δ, )

b

и зафиксируем его, тогда существует интеграл Римана ∫ f(x)dx . Поэтому на [a,b] функция

a

φ(x) является ограниченной. Поскольку φ(x) по условию теоремы является 0 ≤ φ(x) ≤ φ(b)=

b

∫ f(x)dx. Следовательно, φ(x) ограничена на [a, ).

a

Что и требовалось доказать. 

Из теоремы следует, что для того, чтобы несобственный интеграл ∫ f(x)dx расходился

a

необходимо и достаточно, чтобы функция φ(b) была неограниченной сверху. Но тогда в

b

силу ее монотонности lim φ(b) = lim ∫ f(x)dx = +∞.

b -0 b -0 a