7. Суммы Дарбу и их свойства.

Пусть ф-ия f(x) определена и ограничена на отрезке [a,b] и Т-разбиение этого отрезка a=x0<x1<x2<……xn-1<xn=b на частичные отрезки. Обозначим через mi, Mi точную нижнюю и верхнюю грани ф-ии f(x) на частичном отрезке [xi-1,xi]. Составим суммы вида: ŝ=m1∆x1+m2∆x2+….+mn∆xn= ∑(от i=1 до n) mi∆xi ; Ş=Mi∆x1+M2∆x2+…..+Mn∆xn=∑(от i=1 до n) Mi∆xi

О. Сумма ŝ=∑(от i=1 до n) mi∆xi назыв. нижней суммой Дарбу.

О. Сумма Ş=∑(от i=1 до n) Mi∆xi назыв. верхней суммой Дарбу.

В частном случае когда ф-ия f(x) непрерывна на [a,b], то верхняя и нижняя суммы Дарбу явл. наибольшей и наименьшей из интегральных сумм соответствующему данному разбиению Т. Очевидно, что любая интегральная сумма I{xi,Ęi (кси)} разбиения Т отрезка [a,b] заключена между нижней и верхней суммой Дарбу этого разбиения.

Свойства:

1) для любого разбиения Т и для любого ε>0 точки Ęi на [xi-1,xi] можно выбрать так, что интегральная сумма I{xi,Ęi} будет удовлетворять двойному неравенству: 0≤│Ş-I{xi,Ęi}│<; 0≤│ŝ-I{xi,Ęi}│<. Точки Ęi можно выбрать и таким образом, что интегрируемая сумма будет удовлетворять неравенству: 0≤I{xi,Ęi}-s<.

Доказательство: Пусть Т- некоторое фиксированное разбиение отр [a,b] на частичные отрезки. Докажем возможн. выбора по >0 точек Ęi удовлетворяющем неравенству: 0≤Ş-I{xi,Ęi}<. По определению точной верхней грани Mi для данного >0 на [xi-1,xi] можно указать такую точку Ęi, что 0≤Mi-f(Ęi)<(b-a). Умножая последнее неравенство на ∆xi и складывая полученные произведения будем иметь неравенство: 0≤Ş-I{xi,Ęi}<. Ч.Т.Д.

2) если к имеющимся точкам деления данного разбиения Т добавить новые точки деления то нижняя сумма Дарбу может раз лишь возрасти, а верхняя –уменьшится. Доказательство: Для доказательства этого св-ва достаточно ограничится присоединением к уже имеющимся точкам разбиения к еще одной точке x׳. Будем предполагать, что эта точка расположена на отрезке [xk-1,xk], т.е.xk-1<x׳<xk. Если через S′ обозначить новую верхнюю сумму Дарбу от прежней S она будет отличаться тем, что в сумме S данному [xk-1,xk] соответствует слагаемое Mk∆xk а в новой сумме S′ этому же промежутку будет отвечать сумма двух слагаемых: Mk(с 1-чертой)(x′-xk-1)=Mk(с1- чертой)∆x′k; Mk(c2-чертами)(xk-x′)=Mk(с 2-чертами)∆x′′k, где Mk(с1-чертой), Mk(с2-чертами) явл. точными верхними гранями ф-ии f(x) на [xk-1,x′] и [x′,xk]. Т.к. эти отрезки явл. частями отрезка [xk-1,xk], то Mk(с 1-чертой)≤Mk, Mk(с 2-чертами)≤Mk, а тогда Mk(с1-чертой)(x′-xk-1)≤Mk(x′-xk-1); Mk(с2-чертами)(xk-x′)≤Mk(xk-x′). Складывая два последние неравенства получим: Mk(с1-чертой)(x′-xk-1)+Mk(с2-чертами)(xk-x′)≤Mk(xk-xk-1), а это значит, что S′≤S. Аналогично док-ся св-во и для нижней суммы Дарбу. Ч.Т.Д.

3) каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней сумме Дарбу хотя бы отвечающей и другому разбиению отр. [a,b].

Доказательство: Разобьем [a,b] произвольным образом на частичные отрезки и составим для этого разбиения верхнюю и нижнюю сумму Дарбу ŝ1,Ş1 (1). Рассмотрим далее некоторое другое разбиение [a,b] никак не связанное с первым и пусть этому второму разбиению соответствует нижняя и верхняя суммы Дарбу ŝ2, Ş2 (2). Док-ем, что ŝ1≤Ş2, для этого объединим точки деления 1-го и 2-го разбиения в результате чего получим некоторое 3-е разбиение [a,b] которому будут отвечать ŝ3, Ş3 (3). При этом 3-е разбиение получено из 1-го путем добавления новых точек деления, поэтому на основании 2-го св-ва сумм Дарбу ŝ1≤ŝ3. Сопоставляя 2-е и 3-е разбиение получим, что Ş3≤Ş2, но кроме того имеем, что ŝ3≤Ş3. Из указанных выше неравенств получим, что ŝ1≤Ş2. Ч.Т.Д.

Из данного св-ва 3 →, что мн-во {ŝ} всех нижних сумм Дарбу, ограниченны сверху. Известно, что если мн-во ограничено сверху (снизу), то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.(2-ая теорема Вейерштраса). А это значит, что мн-во {ŝ} имеет конечную точную грань: I=sup{ŝ} и кроме того I≤Ş. Причем эти 2 условия выполняются для любой верхней суммы Дарбу ŝ, т.к. мн-во верхних сумм Дарбу явл. ограниченной снизу, то оно имеет конечную точную грань: I*=inf{Ş} причем выполняется неравенство: I≤I*. В результате имеем следующее неравенство: ŝ≤I≤I*≤Ş. В результате имеем теорему. Теорема: мн-во вершин и нижних сумм Дарбу удовлетворяет неравенству: ŝ≤I≤I*≤Ş где I=sup{ŝ}, а I*=inf{Ş}.