47. Определение неявных функций из системы уравнений.
Рассмотрим вопрос
о существовании и дифференцируемости
неявной функции для системы n-неявных
функций, которые определяются
функциональными уравнениями. Пусть
система
(1)
Определяется из
решения m-функциональных
уравнений вида
(2)
Рассмотрим m
функции
,
стоящих в левой части системы (2), и
составим по переменным
по
частным производным определитель
(3)
Полученный
определитель (3) называется определитель
Якоби, функции
по
переменным
.
И кратко обозначается
Рассмотрим систему из двух уравнений с тремя переменными:
Запишем Якобиан по переменным y и z:
Теорема (о существовании неявных функций из системы уравнений). Пусть:
1)функции
и
определены и непрерывны вместе со своими
частными производными в
некоторой окрестности т. М
(
).
2)т.
М
(
)
удовлетворяет системе (4), т.е.
=0
и
=0
3)Якобиан
функций
и
по переменным
в
этой точке отличен от 0,
,
тогда:
- в некоторой окрестности т. М система уравнений (4) определяет y,z как однозначную функцию от x, т.е. y=f(x) и z=g(x);
- при х=х
эти
функции принимают значения соответственно
;
- в (
),
где
соответствует окрестности точки М
,
функций f(x)
и g(x)
непрерывны;
- функции f(x) и g(x) имеют непрерывные производные f ’(x) и g’(x), т.е. они дифференцируемые.
Предварительно сформулируем без доказательства две теоремы, которые следуют из теоремы существования и дифференцируемости неявной функции для двух и трех переменных. При этом будем считать, что неявные функции задаются одним уравнением.
Теорема 1. Пусть:
1)F(x,y)
определена и непрерывна вместе со своими
частными производными
в некоторой окрестности точки М
.
2)F(x,y)
в точке М
обращается в 0, т.е.
=0.
3)
,
тогда:
- в некоторой окрестности М уравнение F(x,y)=0, определяет y как однозначную функцию от x, т.е. y=f(x);
- при х=х
эта функция принимает значение y
,т.е.
;
- в ( )функция f(x) непрерывна, если окрестности т. М ;
- функция y=f(x) имеет в этом промежутке непрерывную производную f ‘(x).
Теорема 2(о неявной функции, определенной уравнением F(x,y,z)=0).
1)Функция F(x,y,z) определена и непрерывна вместе со своими частными производными.
2)Функция
F(x,y,z)
в т. М
обращается
в 0, т.е.
=0.
3)Производная
,тогда:
- в некоторой окрестности точки М ( ) уравнение F(x,y,z)=0, определяет z как единственную функцию от x и y, т.е. z=h(x,y);
- при х=х
,
y=y
эта
функция принимает значение z
,т.е.
;
- функция h(x,y) непрерывна по совокупности переменных x и y;
- функция z=h(x,y)
имеет непрерывные частные производные
.
Доказательство теоремы системы(4):
Поскольку Якобиан
(5) в т. М
(
)
,то
во втором его столбце, хотябы один
элемент определителя отличен от 0, в
данной т. М
.
Пусть
,
тогда на основании теоремы 2 в некоторой
окрестности т. М
первое уравнение системы(4) определяет
z,
как однозначную функцию от х и у, т.е.
со
свойствами указанными в пунктах
заключения этой теоремы. Заменим в
системе (4) первое уравнение равносильным
ему. Получим систему
Поставляя в F
вместо
функцию
получим
систему
,
где
.
Последняя система очевидна также
равносильна системе (4).
Задача сводиться
к доказательству, что в некоторой
окрестности т.М
система уравнений(6) определяет х и у
как однозначную функцию от х, обладающую
свойствами теоремы. Поскольку
содержит переменные х и у, то к нему
можно применить теорему 1, если для этого
уравнения установим, что у определяется
как однозначная функция от х , то
тоже
будет определяться как однозначная
функция от х, т.е. если
,
то
.
Остается проверить
выполнение условий теоремы 1 для функции
Ф(х,у). Имеем
,
на основании пункта 2 теоремы 2 и в силу
непрерывности функции h(x,y)
в т.М
значение этой функции в окрестности
т.М
отличается скольугодно мало от
,
а тогда в достаточно малой окрестности
т.М
функция Ф(х,у) является непрерывной
вместе со своими частными пр11оизводными
потому что такими являются функции
и
из которых составлена функция Ф(х,у).
Выполняется также условие 2 теоремы
1
,
где
.
Проверим условие 3 этой теоремы.
Продифференцируем функцию
по переменной у, получим
.
В тоже время
может быть получено дифференцированием
по х тождества
,
получим
.
Подставим в (8) и
получим:
,
где j-
определитель Якоби определяемый(5),
.
Причем с права в этой формуле вместо
z=h(x,y),
в т.М
(
)
в последнем равенстве слева отвечает
точка М
(
)
справа ввиду того что
,
так как по условию 3 доказываемой теоремы
Якобиан в т.М
,
то и производная
,
а это значит, что к уравнению Ф(х,у)=0
можно применить теорему 1 и утверждать,
что в данной окрестности т.М
это уравнение определяет у как однозначную
функцию от х, у=f(x).
А тогда (7) определяет
как однозначную функцию от х z=g(x).
Замечание.
1)Аналогичная теорема может быть доказана и для системы состоящей и более двух уравнений с помощью математической индукции относительно числа уравнений.
2)Все теоремы существования неявных функций носят локальный характер, поскольку все время речь идет лишь о некоторой окрестности т.М .