42. Формула Тейлора для функций нескольких переменных.

Если в формуле Тейлора для ф-ий нескольких переменных слагаемое f(x0) перенести в левую часть и разность f(x)-f(x0) обозначить через ∆f(x0), а x-x0 обозначить через ∆x то получим формулу: ∆f(x0)=f '(x0)∆x+f ''(x0)(∆x)²/2!+….+fⁿ(x0)(∆x)ⁿ/n!+fⁿ⁺¹(x0)(x0+Ө∆x)/(n+1)!, где 0<Ө<1. Пусть дана ф-ия F(t) которая n+1 раз дифференцируема тогда на основании сказанного выше она может быть разложена по формуле: ∆F(t0)=dF(t0)+d²F(t0)/2!+….+dⁿF(t0)/n!+dⁿ⁺¹F(t0+Ө∆t)/(n+1)!, где 0<Ө<1, dF(t0)=F'(t0)∆t; d²F(t0)=F"(t0)(∆t)²;…dⁿF(t0)=Fⁿ(t0)(∆t)ⁿ. Т.к. аргумент t явл. независимой переменной то преращение ∆t=t-t0 представляет собой деференциал ∆t независимой переменной t, поэтому: F^k(t0)(t-t0)^k=F^k(t0)(∆t)^k=d^kF(t0)=d^kU│_t0. Остаточный член в форме Лагранджа примет вид: Fⁿ⁺¹(t0+Ө(t-t0))(∆t)ⁿ⁺¹=dⁿ⁺¹U│_t0+Ө(t-t0). Имеет место теорема:

Теорема: (Тейлора)Пусть ф-ция U=f(M)=f(x1,x2,…,xn) задана в некоторой окрестности точки M0(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…x_n⁽⁰⁾) и n + 1 раз дифференцируема в указанной окрестности. Тогда полное приращение U=f(M)-f(M0) этой ф-ции в т. M0 может быть представлена в виде: ∆U=dU│_M0+d²U/2!│_M0+…+dⁿU/n!│_M0+ dⁿ⁺¹U/(n+1)!│_N, где N – некоторая точка из этой окрестности зависящая от M(x1,x2,…,xn), а дифференциалы dxi перемен. xi, входящих в выражение d^kU│_M0 и dⁿ⁺¹U│_N равны,для ∆xk=xk-x_k⁽⁰⁾, k=1,n+1/

Доказательство: Пусть F(t)-F(t0)=∆U, тогда формула Тейлора для одной переменной примет вид: dU=dU│_t0+d²U/2!│_t0+…+dⁿU/n!│_t0+dⁿ⁺¹U/(n+1)!│_t0+Ө(t-t0) (1). Рассмотрим ф-ию двух переменных U=f(x,y). Пусть в ε-окрестности т. M₀(x₀,y₀) содержится точка M(x₀+∆x,y₀+∆y). Соединим точки M₀ и M отрезком прямой, тогда координаты x и y точек прямой M₀,M представляют собой линейные ф-ии новой переменной t вида: x=x₀+t∆x; y=y₀+t∆y причем координаты точек отрезка [M₀,M] соответствуют значениям t из отрезка [ 0,1] . Значению t = 0 соответствует т. M₀, а значению t = 1 – т. M. По усл. теоремы ф-ия U=f(x,y) явл. n + 1 раз дифференцированной в окрестности т. M₀, а тогда из x=x₀+t∆x, y=y₀+t∆y → что на прямой M₀M ф-ия f(x,y) явл.сложной ф-ей переменной t n+1 раз дифференцированной хотя бы для всех знач.t из [0,1].Обозначим эту сложную ф-ию через F(t) и запишем для нее ф-лу Тейлора в т. M₀, т.е. t₀=0. При условии что ∆U=F(1)-F(0)=F(M)-F(M₀). Фигурирующие в ф-ле (1) дифференциалы различных порядков представл. cобой дифференциалы сложной ф-ии U=f(x,y), x=x₀+t∆x, y=y₀+t∆y –явл. линейными относительно t. Из изложенного выше известно, что дифференциалы любого порядка могут быть записаны в символической форме: dⁿU=(∂dx₁/∂x₁+∂dx₂/∂x₂+…+∂dx_n/∂x_n)ⁿU. В нашем случае дифференциал k порядка dⁿU│_t0=0=(∂dx/∂x+∂dy/∂y)U│_M0(x0,y0)=d^kU│_M0; dⁿ⁺¹U│_t0+Ө(t-t0)=(∂dx/∂x+∂dy/∂y)ⁿ⁺¹U│_{N(x0+Ө∆x, y0+Ө∆y=d}ⁿ⁺¹U│_U).При этом в данной формуле dx и dy находятся из условия x=x0+t∆x, y=y0+t∆y при условии, что dt=∆t=1-0=1 → что dx=dt∆x=∆x; dy=dt∆y=∆y. Подставляем значения d^kU│_M0; dⁿ⁺¹U│_N в формулу (1) и учитывая, что dx=∆x и dy=∆y получим ф-лу Тейлора ∆U=dU│_M0+d²U/2!│_M0+…+dⁿU/n!│_M0+dⁿ⁺¹U/(n+1)!│_N. Ч.Т.Д.

Замечания: формулу Тейлора для ф-ии U=f(x₁,x₂,…x_n) можно записать f(x₁,x₂,…,x_n)=f(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾)+∑(от k=1 до n)1/k![∂(x₁-x₁⁽⁰⁾)/∂x₁+∂(x₂-x₂⁽⁰⁾)/∂x₂+…+∂(x_n-x_n⁽⁰⁾/∂x_n)]^kf(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾)+((∂(x₁-x₁⁽⁰⁾))/∂x₁)+(∂(x₂-x₂⁽⁰⁾))/∂x₂+…+(∂(x_n+1-x_n+1⁽⁰⁾))/∂x_n+1)ⁿ⁺1/(n+1)!f(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰,…x_n⁽⁰⁾⁾). Такая формула наз. формулой Тейлора с центром разложения в т. M₀(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾) и с остаточным членом в форме Лагранжа, где x_i-x_i⁽⁰⁾; x_i+Ө(x_i-x_i⁽⁰⁾) где 0<Ө<1. Аналогичным образом можно записать ф-лу Тейлора с остаточным членом в ф-ле Пиано.

Теорема: пусть n≥1єZ, ф-ия U=f(x₁,x₂,…x_n) задана и n-1-раз дифференцируема в ε-окрестности т. M₀(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…x_n⁽⁰⁾) и n-раз дифференцируема в самой т. M₀, тогда для любой т. M из указанной ε-окрестности т. M₀ справедлива формула: f(M)=f(M₀)+dU/1!│_M0+d²U/2!│_M0+…+dⁿU/n!│_N0+O(ρⁿ) где ρ-расстояние от M₀ до M, символ O(ρⁿ) обозначает бесконечно малую ф-ию более высокого порядка малости, чем ρⁿ где ρ→0.(без доказательства).

Записанная выше формула наз. формулой Тейлора для ф-ии n-переменных с центром в т. M₀ и остаточным членом в форме Пиано. В развернутом виде эту формулу можно записать: f(x₁,x₂,…x_n)=f(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…x_n⁽⁰⁾)=∑(от k=1 до n)[(∂(x₁-x₁⁽⁰⁾))/∂x₁+(∂(x₂-x₂⁽⁰⁾))/∂x₂+… +(∂(x_n-x_n⁽⁰⁾))/∂x_n]^kf(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…x_n⁽⁰⁾)+O(ρ).

№43. Понятие локального экстремума. Необходимые условия.

Пусть дана ф-ия u=f(x1,x2,…,xn) n – переменных определенных в некоторой окрестности m. M0(x1º,x2º,…,xnº) пространства R4.

Опр. Будем говорить, что u=f(M)=f(x1,x2,…,xn) имеет в точке М0 локальный максимум, если найдется такая ε окрестность в точке М0 в пределах некотором значении ф-ии в т. М0, т.е. f(M0) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений f(M) этой ф-ии в данной окрестности т. М0.

Опр. Будем говорить, что ф-ия u=f(M)=f(x1º,x2º,…,xnº) имеет в т. М0 локальный экстремум, если она имеет в этой точке либо локальный максимум, либо локальный минимум.

Теорема:

Если ф-ия u=f(x1,x2,…,xn) имеет в данной т. M0(x1º,x2º,…,xnº) частные производные первого придела по всем переменным x1,x2,…,xn и имеет в этой точке локальный экстремум, то все частные производные первого порядка в т. М0 обращаются в нуль, т.е. ∂u/∂xί=0, ί=1,n.

Док-во:

Зафиксируем и ф-ии u=f(x1,x2,…,xn) аргументы x1,x2,…,xn, положив их равными соответствующими координатами точки М0, т.е. х2=х2º, х3=х3º,…хn=xnº. Тогда получим ф-ию одной переменной х1 ,т.е. u=f(x1,x2º,x3º,...,xnº). По условию теоремы в т. М0 существует экстремум , а это значит ,что указанная ф-ия одной переменной х1 имеет экстремум в т. х1=х1º, а следует и производная ф-ии f(x1º,x2º,…,xnº) в этой точке равна 0. при этом производная этой ф-ии совпадает со значением частной производной ∂u/∂x1 в т. М0 получили, что ∂u/∂x1=0. аналогично док-ия ∂u/∂xί=0 для ί=1,n.

Замечание:

Доказанная теорема дает лишь необходимые и не дает достаточных условий локального экстремума. Рассмотрим ф-ию z=xy пример. ∂z/∂x=y, ∂z/∂y=x, эти производные обращаются 0 при, y=0 и x=0 Очевидно, что в этой точке и z =0 в тоже время в любой окрестности т. (0,0) ф-ия принимает как положит. так и отриц. значения, т.е. в данной точке экстремума нет. Получили, что точками возможного экстремума явл-ся те точки, в которых все частные производные 1-го обращаются в 0, координаты таких точек находятся из системы координат:

f''x1(x1…xn)=0

f 'x2(x1…xn)=0

………………

f 'xn(x1…xn)=0

Необходимые условия локального экстремума можно сформулировать в следующей теореме.

Теорема: если ф-ия u=f(M) дифференцируема в т. , тождественно относительно дифференциалов всех независимых переменных dx1, dx2,…,dxn. Действительно, т.к. в т.М0 все частные производные 1-го порядка обращаются в 0, то и дифференциал 1-го порядка в этой точке обращается в 0.