1.Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла. Свойства неопределённого интеграла. Таблица неопределённых интегралов.

Опр.: ф-ция F(x) называется первообразной ф-цией или первообразной для ф-ции y=f(x) на интервале (a,b), если в любой точке x из этого интервала ф-ция F(x) дифференцируема и имеет производную F’(x)=f(x). Теорема (о связи двух первообразных): если F₁(x) и F₂(x) – любые две первообразные для функции f(x) на интервале (a,b), то всюду на этом интервале F₁(x)-F₂(x)=c, где c-некоторая константа. Док-во: пусть Ф(x)=F₁(x)-F₂(x); поскольку каждая из ф-ций F₁(x) и F₂(x) дифференцируемы на интервале (a,b), то и ф-ция Ф(x)-дифференцируема на этом интервале как разность двух диф-мых ф-ций, причём в любой точке xε(a,b) выполняется равенство: Ф’(x)= F₁’(x)-F₂’(x)=f(x)-f(x)=0. На основании теоремы о постоянной ф-ции заключаем, что ф-ция Ф(x) является постоянной всюду на интервале (a,b), а это значит, что F₁(x)-F₂(x)=c, где c-const. Док-на. Опр.: совокупность всех первообразных для данной ф-ции f(x) на инт.(a,b) называется неопределённым интегралом от ф-ции f(x) на этом интервале и обозначается: ∫f(x)dx.

Основные свойства неопределённого интеграла:

1. d∫f(x)dx=f(x)dx, это св-во непосредственно вытекает из определения неопределённого интеграла, т.е. знаки d, ∫, когда d стоит перед ∫ взаимносокращаются; 2. ∫dF(x)dx=F(x)+c, вытекает из определения несоб. инт.; 3. если ф-ции f₁(x) и f₂(x) имеют первообразные, то и ф-ция f₁(x)±f₂(x) также имеет первообразную, причём ∫( f₁(x)±f₂(x))dx=∫f₁(x)dx±∫f₂(x)dx, док-во: пусть ∫f₁(x)dx=F₁(x)+c₁; ∫f₂(x)dx= F₂(x)+c₂, это означает, что F₁’(x)=f₁(x) и F₂’(x)=f₂(x). Пусть F(x)=F₁(x)±F₂(x), тогда F’(x)= F₁’(x)±F₂’(x)=f₁(x) ± f₂(x), значит ф-ция F(x)=F₁(x)±F₂(x) является первообразной для ф-ции f₁(x)±f ₂(x), поэтому ∫( f₁(x)±f₂(x))dx=F(x)+c= F₁(x)±F₂(x)+c= ∫f₁(x)dx+c₁±∫f₂(x)dx+с₂=∫f₁(x)dx±∫f₂(x)dx. Учитывая, что c₁,c₂-произвольные постоянные, свойство (3) док-но. 4. если ф-ция y=f(x) имеет первообразную и k-постоянное число то и ф-ция k∙f(x) имеет первообразную, причём для k≠0 имеет место равенство: ∫k∙f(x)dx= k∫f(x)dx(постоянный множитель может выноситься за знак интеграла). Таблица неопределённых интегралов: 1. ∫0∙dx=c, т.к. c’=0; 2. ∫1∙dx=∫dx= x+c, т.к. (x+c)’=1; 3. ∫x^αdx=x^α+1/(α+1)+c, где αεR/-1; 4. ∫dx/x=ln|x|+c; 5. ∫a^xdx=a^x/lna+c; 6. ∫sinxdx=-cosx+c; 7. ∫cosxdx=sinx+c 8. ∫dx/cos²x=tgx+c(x≠П/2+Пk, kεZ); 9. ∫dx/sin²x=-ctgx+c(x≠Пk, kεZ); 10. ∫dx/(1-x²)^1/2={1. arcsinx+c; 2. –arccosx+c; 11. ∫dx/(1+x²)={1. arctgx+c 2. –arctgx+c; 12. ∫dx/(x²+1)^1/2=ln|x+(x²+1)^1/2|+c 13. ∫dx/(1-x²)=(1/2)∙ ln|(1+x)/(1-x)|+c

2. Основные методы интегрирования(подстановкой и по частям).

Теорема(об интегрировании подстановкой): пусть ф-ции φ(t) и f(x) определены на некоторых промежутках и имеет смысл сложная ф-ция f(φ(t)). Тогда если ф-ция f(x) имеет первообразную F(x) и ф-ция φ(t) дифференцируема, то ф-ция f(φ(t))∙φ’(t) также имеет производную, причём выполняется равенство: ∫f(φ(t))∙φ’(t)dt= F(φ(t))+c (1). Док-во: поскольку ф-ция F(x) определена на том же множестве, что и ф-ция f(x), то сложная ф-ция F(φ(t)) имеет смысл и по правилу дифференцирования сложной ф-ции имеем: (d/dt)(F(φ(t))= (dF/dx)|_x=φ(t)∙dφ(x)/dt; dF/dt=(dF/dx)∙(dx/dt). Получили, что ф-ция f(φ(t))∙φ’(t) имеет в качестве одной из своих первообразных ф-цию F(φ(t)), что и доказывает теорему. Формула (1) часто применяется при вычислении неопределённых интегралов, для чего её удобно записать: ∫f(x)dx|_x=φ(t)= ∫f(φ(t))∙φ’(t)dt. Способ интегрирования с помощью замены переменных просто применять в случае, когда числитель – производная знаменателя.

Теорема(интегрирование по частям): если каждая из ф-ций u(x) и ν(x) определены и дифференцируемы на интервале (a,b) и на этом интервале существует первообразная ф-ции ν(x)∙u’(x), то существует и первообразная ф-ции u(x)∙ν’(x) и при этом имеет место формула: ∫u(x)∙ν’(x)dx= u(x)∙ν(x)- ∫ν(x)∙u’(x)dx; ∫udν=u∙ν-∫νdu. Док-во: воспользуемся правилом дифференцирования произведения 2-ух ф-ций: (u(x)∙ν(x))’=u’(x)∙ν(x)+ u(x)∙ν’(x). Умножим обе части последнего равенства на dx. Получим (u(x)∙ν(x))’dx= u’(x)∙ν(x)dx+ u(x)∙ν’(x)dx. Проинтегрируем правую и левую части полученного равенства. По условию теоремы для любого xε(a,b) существует ∫u(x)∙ν’(x)dx, а по свойству неопределённого интеграла ∫(u(x)+ν(x))’dx= u(x)∙ν(x)+c, тогда существует ∫u’(x)∙ν(x)dx и выполняется равенство: ∫(u(x)∙ν(x))’dx= ∫u’(x)∙ν(x)dx+ ∫u(x)∙ν’(x)dx, откуда следует: u(x)∙ν(x)= ∫u’(x)∙ν(x)dx+ ∫u(x)∙ν’(x)dx; ∫u(x)∙ν’(x)dx= u(x)∙ν(x)- ∫u’(x)∙ν(x)dx; док-на. Такой способ удобно применять тогда, когда вычисление ∫νdu значительно проще, чем вычисление ∫udν.