Контрольные задания

1. Найти значение матричного многочлена f(A)= 4А³-2А² + 3А-2E, если задана матрица A.

A =	A =
A =	A =
A =	A =
A =	A =
A =	A =
A =	A =
A =	A =
A =	A =
A =	A =
A =	A =
A =	A =
A =	A =
A =	A =
A =	A =
A =	A =

2. Вычислить произведения и при заданной матрице A

Типовой расчет

Даны матрицы: , , .

Вычислить выражения, имеющие смысл:

1) ; 2) А·С; 3) С·А; 4) С²; 5) А²- 4В.

2.2 Определители (детерминанты) квадратных матриц

Определителем квадратной матрицы первого порядка называется элемент : .

Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число, равное разности произведений его элементов главной и вспомогательной диагонали: .

Определителем квадратной матрицы третьего порядка называется число, вычисленное по правилу «треугольника» (правилу Саррюса).

.

где соответствующие произведения элементов берутся либо со знаком «+», либо со знаком «–» по следующей схеме:

«+» «–»

Определитель квадратной матрицы n-ого порядка может быть определен, используя понятия минора и алгебраического дополнения.

Минором М_ij элемента а_ij матрицы n-ого порядка называется определитель матрицы (n–1)-ого порядка, полученный из матрицы A «вычеркиванием» i-ой строки и j-ого столбца на пересечении которых находится элемент а_ij.

Например, минор элемента а₂₂ матрицы 3-ого порядка будет

.

Алгебраическим дополнением A_ij элемента а_ij матрицы n-ого порядка называется соответствующий ему минор, взятый со знаком плюс, если сумма (i+j) номеров столбца и строки – четное число, или со знаком минус, если сумма (i+j)номеров столбца и строки – нечетное число:

.

Например: .

Определитель квадратной матрицы n-ого порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по i-ой строке);

(разложение по j -му столбцу)

.

Пример. Найти определитель Δ: а) разложив его по элементам первой строки; б) разложив его по элементам второго столбца:

.

Решение.

а) Для вычисления определителя по первой строке

найдем алгебраические дополнения для элементов первой строки элементов (так как элемент , то можно не вычислять его алгебраическое дополнение):

,

,

.

Подставим полученные значения в формулу:

б) Для вычисления определителя по элементам второго столбца

найдем алгебраические дополнения для соответствующих элементов (так как элемент , то можно не вычислять его алгебраическое дополнение):

,

,

.

Подставим полученные значения в формулу:

Свойства определителей

1. определитель не изменится при транспонировании матрицы: ;

2. при перестановке местами строк или столбцов знак определителя меняется на противоположный;

3. определитель, имеющий две одинаковые строки или два одинаковых столбца равен нулю;

4. определитель, имеющий две строки или два одинаковых столбца, элементы которых пропорциональны, равен нулю;

5. определитель равен нулю, если элементы некоторого столбца (строки) равны нулю;

6. если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на некоторое фиксированное число, то преобразованный определитель равен исходному;

7. общий множитель всех элементов некоторого столбца или строки можно выносить за знак определителя:

;

8. сумма произведений элементов некоторого столбца (строки) на алгебраические дополнения элементов другого столбца (строки) этой матрицы равна нулю: ;

9. если все элементы k-го столбца (строки) определителя являются суммой двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которого элементами k-го столбца (строки) являются соответственно первые и вторые слагаемые членов k-го столбца заданного определителя, а все остальные элементы такие же, как и у исходного определителя:

;

10. определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: ;

11. определитель треугольной матрицы и, в частности, диагональной матрицы, равен произведению ее диагональных элементов.