3. Возведение в степень матриц.

Возведение квадратной матрицы А^m в целую положительную степень m (m>1) называется произведение m матриц, равных А:

Операция возведения в степень определена только для квадратных матриц.

Свойства операции возведения в степень:

• А⁰ = Е.

• А¹ = А.

• А^m´А^k= А^m+k.

• (А^m)^k= А^mk.

Линейной комбинацией матриц А и В одинакового размера m´n называется выражение вида kА+λВ.

Если задан многочлен f(x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …+ a₁ x +a₀, то матричным многочленом f(A) называется выражение

f(A)=a _n A ⁿ + a _n-1 A ^n-1 +…+ a₁ A +a₀E.

Значением матричного многочлена f(A) при заданной матрице A является матрица.

Пример. Найти значение матричного многочлена f(A), если

f(x) = -2x²+5x+9 и A = .

Решение.

A² = AA = = .

f(А) = -2A²+5A+9E = -2 + 5 + 9 = + + = .

6. Транспонирование матриц.

Замена строк матрицы А на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что тоже самое, замена столбцов матрицы на ее строки) называется транспонированием матрицы А и обозначается А^Т(А').

Матрица А', транспонированная по отношению к матрице А, имеет вид:

Транспонированной матрицей для вектора-строки (вектор-столбца) будет вектор-столбец (вектор-строка).

Свойства операции транспонирования:

• (A')' =A.

• (lA)' = lA'.

• (A+В)'= A'+В'.

• (A´В)'= В'´ A'.

Квадратная матрица, которую не меняет транспонирование A'=А, называется симметрической.

Например, матрица .

Элемент строки матрицы А называется крайним, если он не равен нулю, а все элементы этой строки, находящиеся левее него, равны нулю.

Матрица A называется ступенчатой, если крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки, т.е.:

, где .

Пример:

не ступенчатая ступенчатая

К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

• умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;

• изменение порядка строк и столбцов матрицы;

• прибавление к каждому элементу одного столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженные на любое число.

Матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований (обозначается А~В).

Пример. Привести к ступенчатому виду матрицу

Сделаем нулевыми все элементы матрицы под крайним элементом первой строки:

~ ~

Теперь сделаем нулевыми все элементы матрицы под крайним элементом второй строки:

~ .

Упражнения

1. Даны матрицы А, В и С. Вычислить D= (AB)¢-С², где

, и . (Ответ: .)

2. Даны матрицы А, В и С. Вычислить D= ABС, где

, и . (Ответ: .)

3. Даны матрицы А, В и С. Вычислить D= ABС-3Е, где

, , и Е – единичная матрица.

(Ответ: .)

4. Вычислить D=A³, если . (Ответ: .)

5. Даны матрицы А и В. Вычислить: С= A+B, С₁= A-3B, если

и . (Ответ: , .)

6. Даны матрицы А и В. Вычислить С= (A+3B)², если

и . (Ответ: .)

7. Даны матрицы А, В и С. Вычислить D= A¢B, где

и . (Ответ: .)

8. Даны матрицы А, В, С и D. Вычислить F= A¢B-CD, где

а)

(Ответ: .)

б)

(Ответ: .)

в)

(Ответ: .)