Упражнения

1. Найти ранг и базис системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по базису:

1. ₁ = (1, 2, 1), ₂ = (2, 1,3), ₃ = (1, 5, 0), ₄ = (2, -2, 4).

2. ₁ = (1, 1, 2), ₂ = (0, 1, 2), ₃ = (2, 1,-4), ₄ = (1, 1, 0).

3. ₁ = (1,-2, 3), ₂ = (0, 1,-1), ₃ = (1,3,0), ₄ = (0,-7, 3), ₅ = (1, 1, 1).

2. Найти ранг и базис системы векторов

₁ = (l, 1, 4, 2), ₂ = (1,-1,-2, 4), ₃ = (0, 2, 6,-2),

₄ = (-3, 3, 3, -12), ₅ = (-1, 0, -4, -3),

содержащий вектор ₅, и все векторы, не входящие в этот базис, разложить по базису.

3. Найти ранг и базис системы векторов

₁ = (1, 3, 0, 5), ₂ = (1,2, 0, 4), ₃ = (1, 1, 1, 3),

₄ = (1, 0, -1, 2), ₅ = (1,-3, 3,-1),

содержащий векторы ₂ и ₃, и векторы, не входящие в этот базис, разложить по базису.

4. Найти два базиса системы векторов ₁ = (1, 1, 0, 0), ₂ (1, 0, 1, 0), ₃ = (1, 0, 0, 1), ₄ = (0, 1, 1, 0), ₅ = (0, 1, 0, 1), ₆ = (0, 0, 1, 1), единственными общими векторами которых служат ₂ и ₄.

5. Найти ранг и все базисы системы векторов:

1. ₁ = (1, 1, 2), ₂ = (3, 1, 2), ₃ = (1, 2, 1), ₄= (2, 1, 2).

2. ₁ = (1, 1, 1), ₂ = (-3, -5, 5), ₃ = (3, 4, -1), ₄ = (1,-1,4).

3. ₁ = (1, 1, 0, -1), ₂ = (1,2,1,0), ₃ = (1,3,2,1), ₄ = (1,4,3,2).

Ответы. 1.a. r =2; ₁ , ₃; ₂ = 3 ₁  ₃ , ₄ = 4 ₁  2 ₃. 1.b. r =3; ₁ , ₂, ₄; ₃= - ₁  ₂+3 ₄. 1.c. r =3; ₁ , ₂, ₅; ₃= - ₁  ₂+2 ₅ ; ₄= 4 ₁ +5 ₂4 ₅. 2. r =3; ₁ , ₃, ₅; ₂= ₁  ₃ ; ₄= -2 ₁ +2.5 ₃+ ₅. 3. r =3; ₁ , ₂, ₃; ₄= -3 ₁ +5 ₂ ₃ ; ₅ = -2 ₁ + 3 ₃. 4. ₂, ₃, ₄, ₅ и ₁, ₂, ₄, ₆; 5.a. r =3; ₁ , ₂, ₃; ₁ , ₃, ₄; ₂, ₃, ₄. 5.b. r =3; ₁ , ₂, ₄; ₁, ₃, ₄; ₂, ₃, ₄. 5.c. Каждые два вектора образуют базис.

Контрольные задания

Разложить вектор ₁ по базису ₂, ₃, сделать проверку.

1. ₁=(14,-2,0,12), ₂=(2,-4,5,3), ₃=(12,2,-5,9);

2. ₁=(10,1,13,24), ₂=(7,0,9,16), ₃=(3,1,4,8);

3. ₁=(7,13,-3,17), ₂=(5,2,7,14), ₃=(2,11,-10,3);

4. ₁=(3,2,3,2), ₂=(4,1,3,8), ₃=(7,-1,0,6);

5. ₁=(-2,-6,-1,5), ₂=(6,12,-7,11), ₃=(2,3,3,8);

6. ₁=(14,14,-6,22), ₂=(9,11,-1,19), ₃=(5,3,-5,3);

7. ₁=(-1,11,-7,3), ₂=(2,4,1,7), ₃=(3,-7,8,4);

8. ₁=(6,3,2,11), ₂=(1,6,-7,0), ₃=(5,-3,9,11);

9. ₁=(-1,4,2,5), ₂=(1,3,0,4), ₃=(2,-1,-2,-1);

10. ₁=(3,11,-12,2), ₂=(1,2,-5,-2), ₃=(2,9,-7,4);

11. ₁=(16,-6,5,-3), ₂=(2,-4,5,3), ₃=(12,2,-5,9);

12. ₁=(4,-1,5,8), ₂=(7,0,9,16), ₃=(3,1,4,8);

13. ₁=(-3,9,-17,-11), ₂=(5,2,7,14) ₃=(2,11,-10,3);

14. ₁=(11,0,3,14), ₂=(4,1,3,8), ₃=(7,-1,0,6);

15. ₁=(4,9,-11,3), ₂=(6,12,-7,11 ₃=(2,3,3,8);

16. ₁=(-1,5,9,13), ₂=(9,11,-1,19), ₃=(5,3,-5,3);

17. ₁=(6,-3,9,11), ₂=(2,4,1,7), ₃=(3,-7,8,4);

18. ₁=(-3,15,-25,-11), ₂=(1,6,-7,0), ₃=(5,-3,9,11);

19. ₁=(3,2,-2,3), ₂=(1,3,0,4), ₃=(2,-1,-2,-1);

20. ₁=(-1,-7,2,-6), ₂=(1,2,-5,-2), ₃=(2,9,-7,4);

21. ₁=(-10,-6,10,-6), ₂=(2,-4,5,3), ₃=(12,2,-5,9);

22. ₁=(-4,1,-5,-8), ₂=(7,0,9,16), ₃=(3,1,4,8);

23. ₁=(3,-9,17,11), ₂=(5,2,7,14), ₃=(2,11,-10,3);

24. ₁=(1,3,6,10), ₂=(4,1,3,8), ₃=(7,-1,0,6);

25. ₁=(8,15,-4,19), ₂=(6,12,-7,11), ₃=(2,3,3,8);

26. ₁=(4,8,4,16), ₂=(9,11,-1,19), ₃=(5,3,-5,3);

27. ₁=(1,1,-6,10), ₂=(2,4,1,7), ₃=(3,-7,8,4);

28. ₁=(-4,9,-16,-11), ₂=(1,6,-7,0), ₃=(5,-3,9,11);

29. ₁=(0,7,2,9), ₂=(1,3,0,4), ₃=(2,-1,-2,-1);

30. ₁=(0,-5,-3,-8), ₂=(1,2,-5,-2), ₃=(2,9,-7,4).