Типовой расчет

Даны векторы: ₁=(n,0,N-1), ₂=(1,2,k), ₃=(-1,-N,3),

где N= , k-номер группы студента.

Вычислить компоненты векторов:

1) ( ₁ ₂) ₃;

2) N( ₁ ₁) ₃ + ₂ – (N-1/2) ₁.

1.2 Линейная зависимость векторов

1.2.1 Ранг и базис системы векторов

Вектор называется линейной комбинацией системы векторов , ,…, , если существуют такие действительные числа ₁, ₂, …, _r, что имеет место равенство = ₁ + ₂ + … +_r .

Система векторов , ,…, , называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией других векторов системы.

Или, система векторов , ,…, , называется линейно зависимой, если существуют такие действительные числа ₁, ₂, …, _r, , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что имеет место равенство:

₁ + ₂ + … +_r +  = 0.

Пример. Даны два вектора: ₁=(2,4,1), ₂=(4,8,2). Очевидно, что ₂=2 ₁, т.е. вектор ₂ является линейной комбинацией вектора ₁. Следовательно, они линейно зависимы.

Если указанной системы чисел не существует, то система векторов называется линейно независимой. В этом случае ни один из векторов системы нельзя представить в виде линейной комбинации других векторов.

Теорема. Диагональная система единичных векторов n- мерного пространства будет линейно независима.

Пример. Даны два вектора: ₁=(1,0), ₂=(0,1). Равенство _{1 1}+ _{2 2} = 0 имеет место только при ₁=0, ₂=0. Это означает, что система векторов ₁, ₂ линейно независима.

Свойства.

1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

2. Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему векторов, то она будет линейно зависимой.

3. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.

4. Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.

5. Нулевой вектор разлагается по любой системе координат.

6. Если вектор разлагается по части системы векторов ₁, ₂, ₃,…, _n, то он разлагается и по всей системе векторов.

7. Если вектор разлагается по системе ₁, ₂, ₃,…, _m, а каждый вектор этой системы в свою очередь разлагается по системе ₁, ₂, ₃,…, _n, то вектор разлагается по системе ₁, ₂, ₃,…, _n.

Максимальное число линейно независимых векторов системы называется рангом системы векторов и обозначается буквой r.

Совокупность из r линейно независимых векторов системы называется базисом системы векторов.

Из определения базиса следует, что базис – это совокупность векторов, содержащая максимальное число линейно независимых векторов, через которые выражаются другие векторы данной системы.

Пример. Совокупность двумерных единичных векторов ₁=(1,0), ₂=(0,1) составляют так называемый единичный базис двумерного пространства; ранг двумерного пространства равен двум.

1.2.2 Переход от одного базиса к другому Метод замещения

Каждый n- мерный вектор =(а₁,а₂,…,а_n) разлагается по диагональной системе единичных векторов n- мерного пространства, и притом единственным образом, с коэффициентами разложения равными координатам разлагаемого вектора

=а_{1 1}+ а_{2 2} +…+а_{л n}

Это выражение называется разложением вектора по базису.

Встает вопрос: можно ли представить каждый из векторов системы ₁, ₂, ₃,…, _n в виде линейной комбинации других векторов этой системы. Да, если удается заменить единичные вектора векторами системы. Система векторов будет линейно зависимой, если в разложении единичные векторы удастся заменить соответствующими векторами системы.

Метод, с помощью которого осуществляется переход от одного базиса к другому путем последовательной замены векторов базиса векторами системы, называется методом замещения.

Рассмотрим сущность метода на примере.

Пример. Даны три вектора: ₁=(1;3), ₂=(2;4), ₃=(-2;5). Требуется установить линейную зависимость системы векторов и определить ранг системы векторов.

Каждый из этих векторов можно представить в виде линейной комбинации векторов единичного базиса: ₁=(1,0), ₂=(0,1).

₁= ₁ + 3 ₂, ₂=2 ₁ + 4 ₂, ₃=-2 ₁ + 5 ₂ (1)

Этому представлению соответствует таблица 1, где буквой Б обозначен базис, а буквой В – векторы системы.

Таблица 1

В Б	1	2	3
1	1	2	-2
2	3	4	5

Система векторов будет линейно зависимой, если в разложении (1) единичные векторы удастся заменить соответствующими векторами системы.

Начнем процесс замещения. Например, заменим вектор ₁ вектором ₁.

Вектор-столбец, соответствующий вектору, вводимому в базис, будем называть направляющим вектор-столбцом. Аналогично вектор-строку, соответствующую вектору, исключаемому из базиса, назовем направляющей вектор-строкой.

Элемент, стоящий на пересечении направляющего столбца и направляющей строки, будем называть направляющим. В нашем случае направляющим элементом будет 1. Если мы решили ввести в базис вектор ₁, то в разложении по новому базису ₁, ₂ вектор ₁ будет иметь компоненты (1;0), так как

₁= 1 ₁+ 0 ₂.

Согласно этому замечанию необходимо так преобразовать исходную таблицу, чтобы на месте направляющего элемента стояла единица, а на остальных местах направляющего столбца – нули. С этой целью умножим направляющую строку на (–3) и присоединим ее ко второй строке; получим таблицу 2.

Таблица 2

В Б	1	2	3
1	1	2	-2
2	0	-2	11

Введем в базис вектор ₂ . Тогда в новом базисе ₁, ₂ вектор ₂ должен иметь компоненты (0;1), так как ₂= 0 ₁+ 1 ₂.

Формально, это соответствует тому, что на месте направляющего элемента (–2) нужно получить 1, а на остальных местах направляющего столбца – нули. С этой целью поделим направляющую строку на (–2), получим таблицу 3.

Таблица 3

В Б	1	2	3
1	1	2	-2
2	0	1

Умножаем преобразованную направляющую строку на (–2) и присоединяем ее к первой строке. Получаем таблицу 4, из которой видно, что векторы системы ₁, ₂, ₃ в новом базисе могут быть представлены так:

₁= 1 ₁+ 0 ₂, ₂= 0 ₁+ 1 ₂, ₃= 9 ₁ - ₂ (2)

Таблица 4

В Б	1	2	3
1	1	0	9
2	0	1

Сравнивая (1) и (2), заключаем, что векторы ₁, ₂ заменены векторами ₁, ₂ и вектор ₃ является их линейной комбинацией. Таким образом, система векторов ₁, ₂, ₃ – линейно зависима; ранг равен двум, и базис состоит из векторов ₁, ₂.

Пример. Дана система векторов ₁=(2,1,3), ₂=(3,1,4), ₃=(1,2,1). Установить линейную зависимость (независимость) системы векторов и определить ранг этой системы.

Решение. Каждый из векторов можно представить в виде линейной комбинации векторов единичного базиса ₁=(1,0,0), ₂=(0,1,0), ₃=(0,0,1)

₁= 2 ₁+1 ₂+ 3 ₃, ₂=3 ₁+ 1 ₂ + 4 ₃, ₃=1 ₁+ 2 ₂+ 1 ₃.

Для определения коэффициентов разложения методом замещения составляется таблица, элементами которой являются коэффициенты разложения векторов ₁, ₂, ₃ по векторам базиса ₁, ₂, _3., т.е.

Таблица 5

В Б	1	2	3
1	2	3	1
2	1	1	2
3	3	4	1

Заменим вектор ₁ вектором ₁. В новой таблице на месте разрешающего элемента надо получить 1, для этого поделим направляющую строку на 2 и запишем ее в новую таблицу, а из второй строки вычитаем преобразованную первую строку и результат запишем в новую таблицу.

Таблица 6

В Б	1	2	3
1	1	3/2	1/2
2	0	-1/2	3/2
3	0	-1/2	-1/2

Воспользуемся упрощенным способом преобразования (правилом прямоугольника).

Мы должны преобразовать таблицу так, чтобы на месте направляющего элемента стояла единица, а на остальных местах – нули. Для этого элементы направляющей строки делятся на разрешающий элемент a_rs0, а элементы других строк заменяются на новые по правилу прямоугольника:

, где

- определяемый элемент;

- заменяемый элемент;

– элементы, стоящие в оставшихся углах прямоугольника:

- элемент направляющей строки, стоящий в одном столбце с заменяемым элементом ;

a_is - элемент направляющего столбца, стоящий в одной строке с заменяемым элементом .

a_rs – направляющий элемент.

Схема правила прямоугольника:

Замечание. Векторы исходного единичного базиса можно заменять векторами системы в произвольной последовательности при условии, что направляющий элемент должен быть отличен от нуля.

На месте разрешающего элемента добиваемся единицы, разделив элементы разрешающей строки на разрешающий элемент, а остальные элементы направляющего столбца будут равны нулю.

Таблица 7

В Б	1	2	3
1	1	3/2	1/2
2	0	-1/2	3/2
3	0	-1/2	-1/2

Введем в базис вектор ₂ вместо вектора ₂. После вычислений получим следующую таблицу:

Таблица 8

В Б	1	2	3
1	1	0	5
2	0	1	-3
3	0	0	-2

Теперь введем в базис вектор ₃ вместо вектора ₃. В итоге получим таблицу 9.

Таблица 9

В Б	1	2	3
1	1	0	0
2	0	1	0
3	0	0	1

Таким образом, все векторы исходного базиса заменены векторами данной системы. Это означает, что векторы данной системы линейно независимы; ранг равен трем: r = 3.

Вывод.

Если все векторы исходного единичного базиса заменены всеми векторами данной системы, то вектора данной системы линейно независимы (процесс замещения осуществлен до конца).

Если все векторы исходного единичного базиса заменены частью векторов данной системы или часть векторов исходного единичного базиса заменены всеми векторами данной системы, однако процесс замещения продолжать нельзя, так как все элементы строк незамещенных векторов – нули, вектора данной системы линейно зависимы.