Тема 3. Системы линейных уравнений

Системы n линейных уравнений с m неизвестными. Исследование систем линейных уравнений: несовместность, совместность (определенность, неопределенность). Векторная и матричная формы записи системы уравнений. Теорема Кронекера – Капелли. Базисные и свободные переменные. Частные и общее решения.

Метод Крамера, метод обратной матрицы, метод Гаусса, метод замещения для решения системы линейных уравнений.

Тема 4. Системы однородных линейных уравнений

Системы однородных линейных уравнений. Фундаментальная система решений системы однородных линейных уравнений.

Тема 5. Системы линейных неравенств

Системы линейных неравенств. Область допустимых решений системы. Нахождение области решения системы неравенств графически.

1. N-МЕРНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

1.1 Векторы и действия над ними

Упорядоченная система из n чисел a₁, a₂, …, a_n называется n-мерным вектором и обозначается =(a₁, a₂, …, a_n).

Два вектора =(a₁, a₂, …, a_n) и =(b₁, b₂, …, b_n) называются равными, если их соответствующие компоненты равны: a₁=b₁, a₂=b₂, …, a_n=b_n.

Например, =(2,4,3) и =(2,4,3) – два равных вектора.

Под суммой (разностью) двух векторов и понимается вектор

+ ( - ), компоненты которого равны суммам (разностям) соответствующих компонент слагаемых векторов:

+ =(a₁+b₁, a₂+b₂,…, a_n+b_n), - =(a₁ -b₁, a₂ -b₂,…, a_n -b_n).

Пример. Если =(1,-2,-3) и =(10, 7, 6) – два вектора, то их сумма + =(1+10, -2+7, -3+6) = (11,5,3) – также вектор.

Умножить вектор на число  – это значит умножить каждую его компоненту на это число. Результатом умножения вектора на число является вектор.

Пример. Если =(2,-1,3,4) и =3, то  = 3(2,-1,3,4)=(6,-3,9,12).

Вектор – называется противоположным вектором вектору .

Свойства арифметических операций над векторами:

1. + = + , (коммутативность – перестановочный закон)

2. +( + )=( + )+ , (ассоциативность – сочетательный закон)

3. (λμ) =λ(μ ), (ассоциативность относительно числового множителя)

4. λ( + )=λ +λ , (дистрибутивность – распределительный закон)

5. (λ+μ) =λ +μ , (дистрибутивность относительно числового множителя)

Вектор же, все компоненты которого равны нулю, называется нуль-вектором и обозначается: =(0,0,…,0).

Вектор, i-ая компонента которого равна единице, а остальные компоненты равны нулю, называется i–ым единичным вектором и обозначается: =(0,0,…,1,…,0).

Под скалярным произведением двух векторов =(a₁, a₂, …, a_n) и =(b₁, b₂, …, b_n) понимается число, равное сумме произведений соответствующих компонент векторов и . Скалярное произведение обозначается как  и записывается:

 = a₁ b₁ + a₂ b₂+….+ a_n b_n.

Свойства скалярного произведения:

1.  =  , (коммутативность – перестановочный закон)

2. (α ) = α(  ), (ассоциативность относительно числового множителя)

3. (  ) =  +  , (дистрибутивность – распределительный закон)

4.  =| |² – скал. квадрат.

Пример. Если =(1,2,3) и =(-2, 4, 0) – два вектора, то их скалярным произведением будет число:  =1(-2) +24 +30 =6.