Упражнения

Дана система однородных линейных алгебраических уравнений. Найти общее решение и фундаментальную систему решений.

а) (Ответ: фундаментальной системы решений нет, общее решение: ).

б) (Ответ: фундаментальная система решений: (0, 1, 1), общее решение: (0, с₁, с₂))

в) (Ответ: фундаментальной системы решений нет, общее решение: ).

г) (Ответ: фундаментальная система решений: , , общее решение: (с₁+с₂; с₁, с₂)).

Контрольные задания

Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений.

Типовой расчет

Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений. Сделать проверку.

5. Линейные неравенства

Алгебраические выражения вида

называются линейными неравенствами с n неизвестными.

Совокупность линейных неравенств с общими неизвестными называется системой линейных неравенств:

.

Множество точек, координаты которых удовлетворяют каждому неравенству системы, называется областью допустимых решений системы.

Множество решений системы m-уравнений с n-неизвестными геометрически представляет собой пересечение m -гиперплоскостей.

Система неравенств, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, в противном случае – система несовместна.

Для того чтобы найти областью решения системы неравенств графически строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены знака неравенства в системе на знак точного равенства. Полуплоскости, координаты точек которых удовлетворяют каждому из неравенств системы, удобно определять с помощью координат точки О(0,0) – начала. Если при подстановке координат начала в неравенство системы знак неравенства выполняется, то за область решения этого неравенства принимается та полуплоскость, где лежит начало координат, в противном случае за область решения неравенства принимается полуплоскость, не содержащая начала. Аналогичные рассуждения проводятся по отношению к каждому неравенству. В итоге выделяется часть плоскости, которая ограничена прямыми системы, координаты точек которых будут одновременно удовлетворять всем неравенствам системы.

Однако областью решений может быть неограниченная часть плоскости, точка и пустое множество.

Пример. Решим систему неравенств

Построим граничные прямые:

x₁ - x₂ = 2 (1)

x1	0	2
x2	-2	0

2x₁ + x₂ = 8 (2)

x1	0	4
x2	8	0

-x₁+2x₂ = 3 (3)

x1	0	-3
x2	1,5	0

На плоскости неравенство представляет собой полуплоскость. Для нахождения этой полуплоскости выбираем точку из какой-либо полуплоскости, на которые граничная прямая делит плоскость. Например, возьмем точку О(0;0). Подставим эти координаты в неравенства:

x₁ - x₂ £ 2

0 - 0 £ 2 – верное неравенство.

Следовательно, полуплоскость, которой принадлежит начало координат, и является решением неравенства.

Аналогично находим полуплоскости, определяемые другими неравенствами. Пересечение всех полуплоскостей и является решением системы неравенств: треугольник ABC.

Численное решение системы линейных неравенств сводится к решению соответствующей ей системе линейных уравнений. Добавляя в каждое неравенство новые неотрицательные неизвестные, переходим от данной системы неравенств к соответствующей ей системе уравнений.

Пример. Решим систему неравенств.

Добавляя новые неотрицательные неизвестные, перейдем от данной системы неравенств к соответствующей системе линейных уравнений:

Полученную систему решаем методом замещения.

П Б	x1	x2	x3	x4	x5	b
е1	1	1	-1	0	0	2
е2	2	-1	0	1	0	2
e3	-1	2	0	0	1	3

П Б	x1	x2	x3	x4	x5	b
x3	-1	-1	1	0	0	-2
x4	2	-1	0	1	0	2
x5	-1	2	0	0	1	3

Последняя таблица показывает, что исходная система линейных уравнений совместна и неопределенна. Решение имеет вид:

при произвольных значениях х₁ и х₂.

Частное решение системы получается при конкретных значениях неизвестных х₁ и х₂, но система чисел х₁ и х₂ будет решением исходной системы неравенств только когда дополнительные неизвестные х₃, х₄ и х₅ неотрицательны.