Упражнения

Дана система неоднородных линейных алгебраических уравнений. Решить ее

• методом Крамера;

• методом Гаусса;

• методом замещения;

• методом обратной матрицы.

а) б) в) г) .

Ответ: а) б) в) г) .

Контрольные задания

Доказать совместность системы линейных уравнений и решить ее:

• методом Крамера;

• методом Гаусса;

• методом замещения;

• методом обратной матрицы.

Типовой расчет

1. Доказать совместность системы линейных уравнений

и решить ее: 1) методом Крамера; 2) методом Гаусса; 3) методом замещения; 4) методом обратной матрицы.

2. Найти общее решение системы и одно частное решение методом замещения. Сделать проверку.

4. Системы линейных однородных уравнений

Система m линейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю:

.

В противном случае система называется неоднородной.

В матричной форме систему можно представить в виде:

.

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как всегда имеет, по крайней мере, одно тривиальное решение (нулевое).

Пусть ранг системы r(A)=r. Общее решение системы запишем в виде строки (вектора):

.

Если в системе линейных уравнений m= n , а ее определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение.

Теорема. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг системы меньше числа неизвестных.

Если ранг системы r(A)= r, r<n; то система имеет n-r линейно независимых решений е₁,е₂,…е_n-r , причем любое решение системы является линейной комбинацией решений е₁,е₂,…е_n-r .

Набор решений (векторов) е₁,е₂,…е_n-r называется фундаментальной системой решений системы линейных однородных уравнений и общее решение системы имеет вид:

с₁е₁+ с₂е₂+…+ с_n-rе_n-r,

где с₁, с₂,с_n-r – произвольные числа.

Решение фундаментальной системы решений находят следующим образом:

• r основных (базисных) переменных х₁,х₂,…х_r выражают через неосновные (свободные) переменные;

• поочередно заменяют n-r неосновных (свободных) переменных элементами каждой строки невырожденной квадратной матрицы порядка n-r, например, единичной Е_n-r.

Пример. Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы уравнений:

Решение.

Выпишем матрицу системы, поставив последнее уравнение на первое место, затем приведем ее к ступенчатому виду:

.

Ранг матрицы r(A)= 2. Базисный минор при переменных х₁ и х₂ отличен от нуля . Выбираем в качестве основных переменных х₁ и х₂ и выражаем их через х₃ , х₄ и х₅:

.

Для получения фундаментальной системы решений е₁,е₂,…е₃ поочередно заменяем неосновные переменные х₃ , х₄ и х₅ элементами строк единичной матрицы Е₃.

При х₃=1 , х₄=0 и х₅=0 система примет вид:

, откуда , т.е. получили базисное решение .

При х₃=0 , х₄=1 и х₅=0 система примет вид:

, откуда , т.е. получили базисное решение .

При х₃=0 , х₄=0 и х₅=1 система примет вид:

, откуда , т.е. получили базисное решение . Найденные решения (векторы) е₁,е₂,е₃ образуют фундаментальную систему. Тогда общее решение системы имеет вид:

+ + =