Упражнения

1. Найти матрицу А^-1 , обратную матрице А, если:

а) , (Ответ: );

б) , (Ответ: );

в) , (Ответ: ).

Контрольные задания

Найти обратную матрицу A^-1 с помощью присоединенной матрицы и метода замещения. Проверить правильность вычислений по формуле AA^-1=A^-1A=E.

Типовой расчет

Дана матрица . Найти обратную матрицу A^-1:

1. с помощью присоединенной матрицы;

2. методом замещения.

Сделать проверку: AA^-1=E.

3. Системы линейных уравнений

Алгебраическое выражение , содержащее неизвестные в первой степени, называется линейным уравнением.

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

,

где - коэффициенты при неизвестных;

- свободные члены ( ).

С помощью матричных обозначений можно коротко записывать системы линейных уравнений.

Введем в рассмотрение следующие матрицы:

где

А – матрица коэффициентов при неизвестных (матрица системы) , X – матрица –столбец неизвестных, B – матрица–столбец свободных членов. Согласно правилу умножения матриц, имеет место матричное уравнение:

A×X = B.

Решением системы называется такая совокупность n чисел, при подстановке которых каждое уравнение обращается в тождество.

Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.

Если эта система уравнений не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Преобразования системы уравнений называются элементарными, если они не изменяют множества решений системы. К ним относятся:

• умножение какого-либо уравнения системы на число, не равное нулю;

• прибавление к обеим частям i – го уравнения соответствующих частей j – го уравнения, умноженных на некоторое число.

Теорема Кронекера-Капелли. Для того, чтобы система m линейных уравнений относительно n неизвестных была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы A и ранг расширенной матрицы , полученной путем приписывания к матрице А столбца свободных членов В, были равны, т.е. r(A)= r .

.

Исследовать систему линейных уравнений общего вида (m ≤ n) означает определить совместна она или нет, а для совместной системы – выяснить определена она или нет. При этом возможны три варианта:

1. если r(A)= r < r =n, то система несовместна;

2. если r(A) = r = r и r =n, где n - число неизвестных, то система совместна и определена , т.е. имеет единственное решение;

3. если r(A) = r = r и r <n, где n - число неизвестных, то система совместна и неопределена , т.е. имеет бесконечное множество решений.

Если r(A)=r =r (r<n), то переменные х₁,х₂,…х_r называются основными (базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (базисный минор) отличен от нуля. Остальные n-r переменных называются неосновными (свободными). Каждому набору значений t₁,t₂,…,t_n-r свободных переменных соответствует единственное решение системы.

Решение системы, в которой все n-r неосновных переменных равны нулю, называются базисным.

Общим решением системы линейных уравнений называется множество всех ее решений, записанных в виде

,

выражающих произвольное решения системы в виде функций от n-r свободных переменных.

Решение систем n линейных уравнений c n неизвестными методом обратной матрицы

Для нахождения решения системы уравнений надо составить исходную матрицу А, найти ее обратную матрицу A^-1 (если такая существует), после чего умножить слева обратную матрицу на матрицу В. В итоге получим вектор, который и будет решением системы линейных уравнений: X = A^-1× B.

Пример. Методом обратной матрицы решить систему уравнений:

Решение. Перепишем исходную систему в матричной форме АХ=В, где:

, .

Определитель матрицы , т.е. обратная матрица существует и равна . Таким образом, по формуле Х=А^-1В:

. Получили решение системы: .

Решение систем n линейных уравнений c n неизвестными методом Крамера

Рассмотрим систему n-линейных уравнений с n-неизвестными:

.

Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

.

Теорема Крамера. Пусть D - определитель матрицы системы A , а D_i – это определитель, полученный путем замены в определителе D i-го столбца на столбец свободных членов, тогда, если D ¹ 0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

.

Пример:

, ,

, следовательно, система имеет решение.

, .

Тогда

, .

Получили решение системы: .

Проверка: . Решение верно.

Решение систем m линейных уравнений c n неизвестными методом Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)

Решение систем m уравнений с n неизвестными методом Гаусса означает приведение системы уравнений к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.

Переход системы к треугольному виду называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных из этой системы – обратным ходом.

Для решения системы уравнений методом Гаусса можно применить матричную форму записи. Тогда для решения системы составляют расширенную матрицу коэффициентов, приписывая к матрице А столбец свободных членов В, затем матрицу с помощью элементарных преобразований приводят к ступенчатому виду («прямой ход»). Этой расширенной матрице соответствует система уравнений ранга r:

Далее по полученной матрице выписывают новую систему и решают ее методом исключения переменных: начиная с последнего по номеру неизвестного находят все остальные («обратный ход»).

1. Если r=n , то система имеет вид:

.

Поднимаясь снизу вверх, последовательно находим (обратный ход метода Гаусса):

• из последнего r- го уравнения неизвестное ;

• из (r-1)- го уравнения неизвестное путем подстановки в это уравнение уже найденное неизвестное ;

• и т.д. до первого уравнения, из которого при подстановке в него уже найденные неизвестные , ,… находим .

2. Если r<n .

В этом случае, как и раньше, объявляем неизвестные х_r+1 ,…х_n свободными и формируем правые части уравнений, оставляя в левых частях слагаемые, содержащие базисные переменные х₁ ,…х_r

Решение этой системы находим обратным ходом метода Гаусса, при этом базисные неизвестные зависят от свободных неизвестных, которые могут принимать любые значения, а потому система имеет множество решений.

Пример. Решить систему уравнений

Решение этой системы начинается с выбора направляющего уравнения. Обычно это уравнение содержит коэффициент при x₁ k₁ = 1. Если такого уравнения нет, то на коэффициент при x₁ делится первое уравнение.

I шаг. Исключаем переменную x₁ из всех уравнений, кроме ведущего (в данном случае из 2-го и 3-го). Для этого выписываем второе уравнение и прибавляем к нему первое, умноженное на коэффициент перед x₁ второго уравнения с противоположным знаком, то есть на (–2). Аналогично поступаем с третьим уравнением, но в данном случае коэффициент будет равен (–1).

´ (–2) (–1)

+

+

Получаем новую систему уравнений, в которой из второго и третьего уравнений исключена переменная x₁.

II шаг. Теперь ведущим выбираем второе уравнение и исключаем переменную х₂ из третьего уравнения. Для этого умножим второе уравнение на (–7/3) и сложим с третьим.

+

— треугольный вид системы уравнений.

Получили решение системы:

Проверка. .

Применяя матричную форму записи, запишем расширенную матрицу и преобразуем ее:

.

Расширенная матрица свелась к матрице ступенчатого виду. Соответствующая ей система имеет вид:

Используя обратный ход метода Гаусса, найдем из третьего уравнения , из второго и из первого .

Решение систем m линейных уравнений c n неизвестными методом замещения

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

.

Метод замещения основан на методе Гаусса. Данный метод решения систем линейных уравнений состоит в преобразовании расширенной матрицы системы к виду, при котором r переменных (r = rang ) образуют диагональную матрицу с точностью до перестановки строк и столбцов, что позволяет сразу, без дополнительных преобразований получить решение системы.

На каждом шаге решения выбирается разрешающий элемент а_rs ¹0 (любой элемент матрицы коэффициентов А, отличный от нуля), r –я строка называется направляющей (разрешающей) строкой, а s–й столбец - направляющим (разрешающим) столбцом. Элементы направляющей (разрешающей) строки делятся на разрешающий элемент, а элементы других строк заменяются на новые по правилу прямоугольника:

, где

- определяемый элемент;

- заменяемый элемент;

– элементы, стоящие в оставшихся углах прямоугольника:

- элемент направляющей строки, стоящий в одном столбце с заменяемым элементом ;

- элемент направляющего столбца, стоящий в одной строке с заменяемым элементом

a_rs – направляющий элемент.

Схема правила прямоугольника:

После получения новой матрицы выбирается новый, отличный от нуля, разрешающий элемент в другой строке, вычисляется новая матрица и т.д., пока матрица А не будет приведена к диагональному виду.

Пример. Решить систему уравнений методом замещения в виде расширенной матрице

.

Выпишем расширенную матрицу системы:

.

Шаг 1. В качестве разрешающего элемента удобно взять элемент равный единице ( ) . Разрешающую переменную следует исключить из остальных уравнений, поэтому на месте разрешающего элемента добиваемся единицы, разделив элементы разрешающей строки на разрешающий элемент, а остальные элементы направляющего столбца будут равны нулю. Так как , то элементы разрешающей строки не меняются.

Другие элементы новой матрицы находим по правилу прямоугольника:

и т.д.

Новая матрица имеет вид:

.

Шаг 2. В качестве разрешающего элемента берем элемент не равный нулю ( ) . Делим элементы разрешающей строки на разрешающий элемент (-1), а остальные элементы направляющего столбца будут равны нулю. Другие элементы новой матрицы находим по правилу прямоугольника. Новая матрица имеет вид:

Шаг 3. В качестве разрешающего элемента берем элемент третьей строки, например, . Делим элементы разрешающей строки на разрешающий элемент (10), а остальные элементы направляющего столбца будут равны нулю. Другие элементы новой матрицы находим по правилу прямоугольника. Новая матрица имеет вид:

.

Так как все строки матрицы уже брались в качестве разрешающих, то выпишем систему уравнений, соответствующую последней матрице:

Полагая , получим общее решение системы:

где - любые числа.