Упражнения

1.Найти ранг матрицы:

а) ; б) ; в) ; г)

(Ответ: а) r=2; б) r=2; в) r=3; г) r=2.)

2. Найти ранг матрицы:

а) ; б) ; в) ; г)

(Ответ: а) r=2; б) r=3; в) r=3; г) r=3.)

Контрольные задания

Найти ранг матрицы A методом элементарных преобразований

Типовой расчет

Дана матрица .

Найти ранг матрицы A: 1) методом окаймляющих миноров; 2) методом элементарных преобразований; 3) методом замещения.

2.4 Обратная матрица

Матрица А^-1 называется обратной для квадратной матрицы А, если выполняются равенства

A A^-1 = A^-1A = E.

Свойства обратных матриц:

1. (A^-1)^-1=А;

2. (AВ)^-1=В^-1А^-1;

3. (A^-1)′=(А′)^-1;

4. (A^-1)^m =(А^m)^-1.

Матрица А называется невырожденной или неособенной, если определитель матрицы не равен нулю ( ), в противном случае ( )– вырожденной (особенной).

Теорема. Квадратная матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырожденная. В этом случае обратную матрицу можно вычислить по формуле:

где - присоединенная матрица, элементы которой равны алгебраическим дополнениям элементов матрицы А¢, транспонированной к матрице А.

Для вычисления обратной матрицы необходимо:

1. найти определитель матрицы А. Если определитель матрицы не равен нулю , то матрица невырожденная и обратная матрица существует;

2. найти матрицу А¢, транспонированную к матрице А;

3. найти алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы А¢ и составить присоединенную матрицу ;

4. вычислить обратную матрицу по формуле: .

Пример. Найти обратную матрицу к данной .

Решение.

1. Определитель матрицы А не равен нулю, т.е. матрица невырожденная и обратная матрица существует.

2. Найдем матрицу А¢, транспонированную к матрице А:

3. Найдем алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы А¢:

, ,

,

, ,

, ,

,

и составим присоединенную матрицу:

.

4. Вычислим обратную матрицу по формуле:

.

Проверим правильность вычислений по формуле A A^-1 = A^-1A = E.

.

Нахождение обратной матрицы методом замещения

Отыскание элементов j – го столбца обратной матрицы сводится к нахождению коэффициентов разложения единичного вектора по вектор-столбцам матрицы А.

Сначала необходимо определить, является ли матрица А вырожденной или нет. Однако это можно установить в процессе нахождения обратной матрицы методом замещения.

Для определения коэффициентов разложения методом замещения составляется таблица с удвоенным количеством столбцов, состоящая из элементов матриц А и единичной матрицы Е. Слева записывается данная по условию матрица, а справа – единичная. Последовательно заменяются единичные векторы базиса вектор - столбцами матрицы А. В результате на месте исходной матрицы должна получиться единичная матрица, а справа – обратная матрица.

На каждом шаге решения выбирается разрешающий элемент а_rs¹0 (любой элемент матрицы коэффициентов А, отличный от нуля), r –я строка называется направляющей (разрешающей) строкой, а s–й столбец - направляющим (разрешающим) столбцом. Элементы направляющей (разрешающей) строки делятся на разрешающий элемент, а элементы других строк заменяются на новые по правилу прямоугольника:

, где

- определяемый элемент;

- заменяемый элемент;

– элементы, стоящие в оставшихся углах прямоугольника:

- элемент направляющей строки, стоящий в одном столбце с заменяемым элементом ;

- элемент направляющего столбца, стоящий в одной строке с заменяемым элементом ;

а_rs- направляющий элемент.

С хема правила прямоугольника:

После получения новой таблицы выбирается новый, отличный от нуля, разрешающий элемент в другой строке, вычисляется новая таблица и т.д., пока в результате замещения на месте исходной матрицы А появится единичная матрица Е, а на месте единичной – обратная А^-1. Если в результате вычислений обратной матрицы окажется, что процесс замещения продолжить нельзя (все направляющие элементы равны нулю), то матрица является вырожденной и обратной матрицы А^-1 для данной матрицы А не существует.

Рассмотрим сущность метода на примере.

Пример. Дана матрица . Требуется найти для нее обратную А^-1.

Решение. Нахождение обратной матрицы начинается с составления исходной таблицы, элементами которой являются коэффициенты разложения векторов по векторам базиса .

В Б	а1	а2	а3	е1	е2	е3
е1	1	3	4	1	0	0
е2	2	0	-2	0	1	0
е3	-1	2	5	0	0	1

Заменим вектор вектором . Разрешающую переменную следует исключить из остальных уравнений, поэтому на месте разрешающего элемента добиваемся единицы, разделив элементы разрешающей строки на разрешающий элемент, а остальные элементы направляющего столбца будут равны нулю.

В Б	а1	а2	а3	е1	е2	е3
а1	1	3	4	1	0	0
е2	0	-6	-10	-2	1	0
е3	0	5	9	1	0	1

Введем в базис вектор вместо вектора . После вычислений получим следующую таблицу:

В Б	а1	а2	а3	е1	е2	е3
а1	1	0	-1	0		0
а2	0	1				0
е3	0	0				1

Теперь введем в базис вектор вместо вектора . В итоге получим таблицу,

В Б	а1	а2	а3	е1	е2	е3
а1	1	0	0	-1
а2	0	1	0	2
а3	0	0	1	-1

в которой на месте исходной матрицы стоит единичная матрица, а на месте единичной - обратная:

.

Убедимся в правильности решения: