Упражнения

1. С помощью правила треугольника вычислить определители:

а) , б) в) . (Ответ: а) –36; б) 0; в) 87.)

2. Методом понижения порядка вычислить определители:

а) , б) (Ответ: а) 910; б) 16.)

3. Вычислить определители методом приведения их к треугольному виду:

а) , б) (Ответ: а) 48; б) 20.)

4. Вычислить определители:

а) , б) , в) ,

г) , д) , е)

(Ответ: а) 40; б) 160; в) 0; г) -34; д) 0; е) 36.)

Контрольные задания

1. Вычислить определитель Δ матрицы А: а) разложив его по элементам i - ой строки; б) разложив его по элементам j – ого столбца; в) получив предварительно нули в i - ой строке, используя метод эффективного понижения порядка; г) путем приведения определителя к треугольному виду.

i=3, j=2	i=3, j=3
i=2, j=3	i=2, j=4
i=2, j=4	i=1, j=3
i=3, j=2	i=3, j=2
i=3, j=1	i=1, j=1
i=2, j=3	i=1, j=1
i=4, j=3	i=3, j=2
i=1, j=2	i=1, j=2
i=4, j=3	i=1, j=4
i=4, j=2	i=2, j=3
i=1, j=2	i=3, j=4
i=4, j=3	i=1, j=2
i=3, j=1	i=3, j=4
i=4, j=3	i=1, j=3
i=3, j=4	i=3, j=2

Типовой расчет

Вычислить определитель матрицы: .

2.3 Ранг матрицы

Рангом матрицы r(A) называется наибольший порядок отличных от нуля миноров данной матрицы.

Свойства ранга матрицы:

• ранг матрицы A_m´n не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. ;

• ранг матрицы r(A)=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. A=0;

• для квадратной матрицы n – го порядка r(A)= n тогда и только тогда, когда матрица A – невырожденная;

• при транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

Для рангов матриц справедливы следующие соотношения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. , если В – квадратная матрица и .

Преобразования, сохраняющие ранг матрицы, называются элементарными преобразованиями матрицы. К ним относятся:

• отбрасывание нулевого столбца (строки);

• умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;

• изменение порядка строк и столбцов матрицы;

• прибавление к каждому элементу одного столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженные на любое число;

• транспонирование матрицы.

Существует два способа нахождения ранга матрицы.