Российский государственный торгово-экономический университет

Саратовский институт

Кафедра высшей математики и информационных технологий

МАТЕМАТИКА

Линейная алгебра

Методические указания и задания для самостоятельной работы студентов всех специальностей

САРАТОВ

Издательство

Саратовского института РГТЭУ

2008

УДК 51

ББК 22.1

М34

Составители:

доцент О.С. Балаш, ст. преподаватель Е.Ю. Высочанская,

ст. преподаватель Е.Г. Носова

Математика: Линейная алгебра: Методические указания и задания М34 для самостоятельной работы студентов всех специальностей / [сост.

О.С. Балаш, Е.Ю. Высочанская, Е.Г. Носова]. – Саратов: Изд-во Сарат. ин-та РГТЭУ, 2008. – 76 с.

В данном учебном пособии рассмотрены основные понятия линейной алгебры, такие как матрицы, определители, системы линейных уравнений и неравенств. В пособии даны задачи для самостоятельного решения и приведены типовые расчеты для каждого раздела.

Учебное пособие рекомендуется для студентов обучения по всем специальностям торгово-экономического профиля.

УДК 51

ББК 22.1

Рекомендовано кафедрой высшей математики и информационных технологий и одобрено учебно-методическим советом Саратовского института (филиала) РГТЭУ

Работа издана в авторской редакции

© Саратовский институт РГТЭУ, 2008

© Балаш О.С., Высочанская Е.Ю.,

Носова Е.Г., 2008

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 4

1. N-МЕРНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 6

1.1 Векторы и действия над ними 6

Упражнения 7

Контрольные задания 7

Типовой расчет 8

1.2 Линейная зависимость векторов 8

1.2.1 Ранг и базис системы векторов 8

1.2.2 Переход от одного базиса к другому Метод замещения 10

Упражнения 14

Контрольные задания 15

Типовой расчет 16

1.3 Разложение вектора по базису 16

Упражнения 18

Контрольные задания 19

Типовой расчет 20

2. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 20

2.1 Основные сведения о матрицах 20

2.1.1 Операции над матрицами 22

Упражнения 26

Контрольные задания 27

Типовой расчет 29

2.2 Определители (детерминанты) квадратных матриц 30

2.2.1 Основные методы вычисления определителей 33

Упражнения 35

Контрольные задания 35

Типовой расчет 37

2.3 Ранг матрицы 37

Упражнения 41

Контрольные задания 41

Типовой расчет 43

2.4 Обратная матрица 43

Упражнения 47

Контрольные задания 48

Типовой расчет 49

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 49

Упражнения 56

Контрольные задания 56

Типовой расчет 57

4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ 58

Упражнения 59

Контрольные задания 60

Типовой расчет 61

5. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 61

Упражнения 63

Контрольные задания 63

ВОПРОСЫ ДЛЯ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ОПРОСА 64

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 66

Введение

Методические указания содержат программу раздела дисциплины «Математика», вопросы для теоретического опроса, упражнения для самостоятельной работы, типовые расчеты и контрольные задания, а также приводится список литературы, в которой можно найти материал по всем вопросам указанных разделов.

Каждая тема включает краткий теоретический материал, а также приведены решения некоторых типовых примеров. Методические указания снабжены большим количеством примеров для самостоятельной работы с ответами. Типовые расчеты призваны обеспечить индивидуальный подход к самостоятельной работе студентов. Контрольные задания помогут студентам подготовиться к промежуточному контролю знаний по дисциплине «Математика». Цель методических разработок – оказать помощь студентам в организации их самостоятельной работы.

Тема 1. N-мерное векторное пространство

Понятие вектора. Операции над векторами и их свойства: сложение, умножение на число, скалярное произведение. Разложение вектора по системе векторов. Линейно зависимые и независимые системы векторов. Координаты вектора относительно базиса, нахождение координат вектора относительно данного базиса и при переходе от одного базиса к другому.

Тема 2. Матрицы и определители

Основные понятия. Виды матриц. Действия над матрицами и их свойства: сложение, умножение на число, произведение, возведение в целую степень, матричные многочлены, транспонирование. Элементарные преобразования матриц, эквивалентные матрицы.

Основные понятия. Вычисление определителей 1-3 порядка, правило Саррюса, вычисление определителей n-го порядка. Свойства определителей. Понятие минора, алгебраического дополнения. Основные методы вычисления определителей: разложение определителей по элементам некоторой строки или некоторого столбца, метод эффективного понижения порядка, приведение определителя к треугольному виду.

Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований для нахождения ранга матрицы.

Невырожденная матрица. Обратная матрица. Метод присоединенной матрицы и метод замещения для вычисления обратной матрицы.