- •Программа государственного экзамена по математике,
- •Математический анализ
- •2. Подпоследовательность. Фундаментальные последовательности. Теорема больцано-вейерштрасса. Критерий коши
- •6. Производная функции, геометрический и механический смысл. Арифметические свойства производной, производная сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций
- •8. Исследование функций с помощью производной: условия постоянства и монотонности функции, экстремумы, условия существования, выпуклость и перегиб
- •9. Первообразная. Неопределенный интеграл, его основные свойства. Интегрирование подстановкой и по частям
- •10. Определенный интеграл. Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывной и монотонной функции
- •11. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула ньютона-лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле
- •12. Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, длин кривых, объемов тел вращения и площадей поверхностей вращения
- •13. Числовые ряды. Признаки сходимости положительных рядов
- •14. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость. Признак лейбница. Свойства абсолютно сходящихся рядов
- •15. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Признак вейерштрасса
- •16. Степенные ряды. Теорема абеля. Интервал и радиус сходимости. Свойства степенных рядов внутри интервала сходимости
- •17. Ряд тейлора. Теорема о разложении функции в ряд тейлора. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций
- •18. Действительная функция n действительных переменных. Предел и непрерывность. Частные производные. Дифференцируемость и дифференциал. Условия дифференцируемости
- •19. Определение и условия существования двойного интеграла, геометрический смысл. Основные свойства и способ вычисления двойного интеграла
- •20. Криволинейный интеграл по координатам. Формула грина-остроградского. Приложение к вычислению площадей плоских фигур
- •21. Мощность множества. Счетные множества и их свойства. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел
- •22. Метрические и линейные нормированные пространства. Множества в метрических пространствах. Полные метрические пространства
- •23. Функция комплексного переменного. Непрерывность и дифференцируемость. Условия дифференцируемости. Понятие аналитической функции. Основные элементарные функции комплексной переменной
- •24. Интегрирование функции комплексного переменного
- •25. Степенные ряды на комплексной плоскости. Ряд тейлора. Ряд лорана
- •Алгебра, теория чисел
- •1. Бинарные отношения, отношение эквивалентности и разбиение множества на классы, фактор-множество. Основные вопросы
- •2.Группа. Примеры групп. Простейшие свойства групп.
- •3.Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Критерий подкольца. Изоморфизм колец.
- •4.Аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Принцип математической индукции.
- •5.Поле. Примеры полей. Простейшие свойства поля. Подполе. Критерий подполя. Изоморфизм полей.
- •9.Теорема о делении с остатком для многочленов. Схема горнера. Теорема безу.
- •10.Корни многочлена. Основная теорема алгебры и следствия из нее. Неприводимые над полем комплексных чисел многочлены. Формулы виета.
- •15.Отношение сравнимости по модулю в кольце целых чисел. Полная и приведенная системы вычетов. Функция эйлера и ее вычисление. Теоремы эйлера и ферма.
- •Геометрия
- •1.Трехмерное векторное пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложения к решению задач.
- •2.Метод координат на плоскости и в пространстве. Аффинная и декартова прямоугольная система координат. Прямая на плоскости. Различные способы задания прямой. Взаимное расположениt прямых на плоскости.
- •5.Различные способы задания плоскости. Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между двумя плоскостями.
- •6.Различные способы задания прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
- •Системы аксиом плоскости Лобачевского. Параллельные прямые на плоскости
- •Углубленное изучение математики: содержание, приемы и формы организации обучения.
- •Методика изучения числовых систем (натуральные и дробные числа).
- •Математические выражения и тождественные преобразования в школьном курсе математики.
- •Уравнения и неравенства в школьном курсе математики.
- •Методика изучения функции в 10-11 классах.
- •Логическое строение школьного курса геометрии.
- •Методика изучения темы "Многоугольники".
- •Методика изучения темы "Многогранники".
- •Методика изучения темы "Тела вращения".
- •Педагогика
- •1. Педагогика как наука. Целостность педагогического процесса. Методы научно-педагогического исследования.
- •2. Факторы развития личности, становления индивидуальности. Половозрастные особенности школьников и их учет в деятельности учителя.
- •3. Дидактика как теория обучения. Движущие силы и закономерности обучения.
- •4. Принципы и методы обучения.
- •5. Содержание образования как фундамент базовой культуры личности.
- •6. Способы и системы обучения.
- •7. Формы организации учебной работы учащихся.
- •8. Формы организации учебной деятельности учащихся на уроке. Средства обучения.
- •9. Педагогическая диагностика. Методы педагогического диагностирования.
- •10. Педагогические технологии и инновации в образовании.
- •11. Социализация личности. Сущность воспитания и его место в целостной структуре образовательного процесса.
- •12. Принципы и методы воспитания. Технология воспитания. Воспитательная система.
- •13. Национальное своеобразие, содержание и проблемы воспитания. Уровень воспитанности.
- •14. Формы организации воспитательного процесса. Средства воспитания.
- •15. Школьный коллектив как объект и субъект воспитания.
- •Литература
- •Проект Федерального закона Российской Федерации "Об образовании в Российской Федерации" url: http://www.Rg.Ru/2012/01/17/obrazovanie-site-dok.Html. 20.04.12
- •Комментарий к Проекту закона "Об образовании в Российской Федерации" url: http://www.Rg.Ru/2012/01/17/obrazovan.Html. 20.04.12
6. Производная функции, геометрический и механический смысл. Арифметические свойства производной, производная сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций
Основные вопросы
Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл.
Правила дифференцирования: производная суммы, произведения, частного функций, производная сложной и обратной функции.
Производные основных элементарных функций: ax, x, logax, sinx, cosx, tgx, ctgx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.
[1], гл. 5, §§ 1, 3-8.
[3], гл. 1, § 9, пп. 1, 3-7.
[5], гл. 5, § 1, пп. 76-84.
[7], гл. 5, §§ 1-3, 5, 6.
7. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ, СВЯЗЬ С ПРОИЗВОДНОЙ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛА. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Основные вопросы
Приращение функции в точке. Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости (непрерывность дифференцируемой функции). Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
Дифференциал функции, его связь с производной. Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал суммы, разности, произведения, частного двух функций.
Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
[1], гл. 5, §§ 2, 9, 10, 14.
[3], гл. 1, § 9, пп. 2, 3, 5, 7, § 10, пп. 1, 2, 3, 4, § 13, пп. 1, 3.
[5], гл. 5, § 1, п. 82, § 2, пп. 89-92, § 3, гл. 6, § 2, пп. 105-108 .
[7], гл. 5, §§ 4, 8, 9, гл. 6, § 3.
8. Исследование функций с помощью производной: условия постоянства и монотонности функции, экстремумы, условия существования, выпуклость и перегиб
Основные вопросы
Условия постоянства и монотонности функции на интервале.
Определение экстремума функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.
Определение функции, выпуклой вверх и вниз на интервале. Направления выпуклости и вогнутости графика функции. Достаточные условия выпуклости. Точка перегиба функции (определение, необходимое условие перегиба, достаточное условие).
[1], гл. 9, §§ 1-3.
[3], гл. 1, § 14, пп. 1-3.
[5], гл. 7, § 1, пп. 110-114.
[7], гл. 7, §§ 1-4.
9. Первообразная. Неопределенный интеграл, его основные свойства. Интегрирование подстановкой и по частям
Основные вопросы
Определение первообразной. Теоремы о множестве и общем виде первообразных. Определение неопределенного интеграла. Основные свойства: линейность, интеграл от дифференциала функции, дифференциал (производная) от интеграла.
Основные методы интегрирования: замена переменной (метод подстановки) и интегрирование по частям.
[1], гл. 6, §§ 1, 2.
[3], гл. 3, § 22, пп. 1-5.
[5], гл. 10, § 1, пп. 155, 157-163.
[7], гл. 8, §§ 1-5.
10. Определенный интеграл. Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывной и монотонной функции
Основные вопросы
Определение интегральной суммы и определенного интеграла Римана.
Ограниченность интегрируемой функции (необходимое условие интегрируемости).
Основные свойства определенного интеграла: линейность, аддитивность, интегрирование неравенств, теорема о среднем.
Верхние и нижние суммы Дарбу. Критерий интегрируемости.
Равномерная непрерывность функции на отрезке. Теорема Кантора. Теорема об интегрируемости непрерывной функции.
Теорема об интегрируемости монотонной функции.
[1], гл. 10, §§ 1-3, § 4, п. 3, § 5.
[3], гл. 3, § 27, пп. 1, 3-6, § 28, пп. 1, 2.
[5], гл. 4, § 2, пп. 74, 75; гл. 11, § 1, § 2, пп. 180-182.
[7], гл. 9, §§ 2-4