2. Нечеткий вывод на основе индуктивного логического вывода

1. Выбор значений параметров на основе нечеткого правила отделения

Рассмотрим случай, когда экспертная информация задается системой нечетких высказываний второго типа L⁽²⁾. В этом случае задача ПР также заключается в том, чтобы для заданных значений x,y,z... входных параметров X,Y,Z... выбрать значения выходного параметра V. Индуктивная схема вывода (ПР) запишется в виде:

(11.11)

A', B' - четкие высказывания:;

w'=(x, y, z...) .

Схема вывода(11.11) принципиально отличается от предыдущей.

Так в схеме (11.6) высказывания о значениях входных параметров (A' и A_j) являются предпосылками как в самой схеме вывода так и внутри системы L⁽¹⁾, а высказывания о значениях выходных параметров (B' и B_j) являются следствиями. В схеме вывода (11.11) высказывания о значениях входных параметров являются предпосылкой для самой схемы (это A_j), и следствием внутри системы L⁽²⁾ (A_j), а высказывания о значениях выходных параметров являются следствием для схемы вывода(11.11) (высказывание B'), но предпосылкой внутри системы L⁽²⁾ (высказывание B_j). Поэтому для выбора значений выходного параметра V на основе правила отделения необходимо преобразовать схему вывода (11.11) к схеме вывода (11.6). Для этого можно преобразовать систему L⁽²⁾ в эквивалентную ей систему L⁽¹⁾, используя ПРАВИЛО КОНТРАПОЗИЦИИ. Согласно этому правилу для произвольных выражений А и В высказывания "Если А, то В" и "Если B, то А" эквивалентны, т.е.

<Если А, то В> = <Если B, то А> (11.12)

Применяя правило контрапозиции к выражениям получаем:

Введя новые обозначения запишем систему эталонных высказываний эквивалентную в следующем виде

Тогда схема вывода (11.11) запишется

, (11.13) ,

что будет аналогично рассмотренной ранее.

Истинность нечеткого правила отделения для схемы вывода (11.11) запишется в виде:

, (11.14)

где степень истинности правила отделения для заданных значений w=(x,y,z...) входных параметров X, Y, Z,… и произвольного значения v выходного параметра согласно (11.14) запишется:

или с учетом (11.13) и (11.14)

(11.15)

Т.о. при заданной системе эталонных логических высказываний второго типа для значений x, y, z... входных параметров, значением выходного параметра V является такое множество ,для каждого элемента которого схема вывода (11.11) имеет наибольшую степень истинности правила отделения.

Свойство 11.1. Для любых значений w и v истинность нечеткого правила отделения для схемы вывода (11.11) истинность схемы вывода

(11.16)

совпадают.

[Следует из сравнения (11.16) и (11.6), и выражений (11.4) и (11.5)]

Свойство 11.2. Схемы вывода (11.11) и (11.16) эквивалентны с точки зрения правила отделения. Другими словами, для одних и тех же значений x, y, z... входных параметров X, Y, Z… , схемы вывода (11.11) и (11.16) на основе правила отделения определяют одно и тоже множество рекомендуемых значений выходного параметра V.

2. Рассмотрим теперь построение алгоритма определения значений параметров проектируемого изделия на основе правила отделения в случае задания ЭИ нечеткой системой . Для обоснования алгоритма запишем выражение для степени истинности в следующем виде:

где

Расположим в порядке возрастания:

(11.17)

Тогда

(11.18)

Свойство 11.3. Справедливо выражение т.е. при любом значении выходного параметра V значение степени истинности правила для схемы вывода (11.11) не меньше значения .

Теорема 11.3. Для произвольного значения выражение

(11.19)

справедливо тогда и только тогда, когда справедливо выражение:

(11.20)

На основании этой теоремы можно построить следующий итерационный алгоритм А2 определения значений выходного параметра V при задании экспериментальной информации в виде системы второго типа.

1. Определить ;

2. ;

3. Определить

4. Если

5. Если , то перейти к 14

6. Идти к 3;

7. ;

8. Если , перейти к 11;

9. Если , перейти к 14;

10. Перейти к 3;

11. 

12. Если , то 3, иначе 14;

13. Перейти к 3;

14. 

Конец

3. Пример 11.3

Рассмотрим пример нахождения множества рекомендованных значений выходного параметра V. Пусть и система высказываний те же, что и в примере 11.1. Система эталонных высказываний

1. Определим

Согласно (13.8) для можно записать

.

Эта функция достигает наибольшего значения при выполнении следующих условий:

Согласно функциям принадлежности, приведенным в примере 11.1 видим, что при ; при или ; при , откуда получаем при и .

Таким образом, для указанной выше системы высказываний 2-го типа при значениях входных параметров x=14 и y = 27 рекомендуемые значений выходного параметра на основе правила отделения находятся в диапазонах [25-26] и [34-35].

Выбор значений параметров на основе правила отделения при задании экспертной информации нечеткой системой 2-го типа в отличие от системы 1-го типа обладает следующим недостатком: множество рекомендуемых значений в произвольном случае состоит из нескольких отдельных интервалов. Их количество может меняться в пределах от 1 до m+1, где m - число базовых значений лингвистической переменной . В нашем примере 11.11 - их число равно 2.

Данный результат связан с тем, что алгоритм выбора решений максимизирует значение функции , что согласно выражению (11.18) связано с уменьшением значений , j=1,m. В силу унимодальности функций уменьшение их значений возможно как влево, так и вправо от точки экстремума. Это порождает указанный недостаток.