Лекция 11 методы представления и обработки нечетких знаний в продукционных системах

(продолжение)

План лекции

1. Нечеткий вывод на основе дедуктивного логического вывода

2. Нечеткий вывод на основе индуктивного логического вывода

1. Нечеткий вывод на основе дедуктивного логического вывода

Четкая система высказываний является частным случаем нечеткой системы. Для выбора решений в нечетких условиях, когда экспертная информация представима нечеткой системой первого типа (L⁽¹⁾) предполагается использовать дедуктивную схему вывода, основанную на правиле отделения. В этом случае решением будет являться выбор таких значений определяемого параметра проектирования, для которого степень истинности нечеткого правила отделения достигает своего максимума.

Пусть

нечеткие высказывания.

НЕЧЕТКИМ ПРАВИЛОМ ОТДЕЛЕНИЯ называется следующая схема вывода:

:<Если , то >;

- истинно, (11.1)

- истинно

ИСТИННОСТЬЮ НЕЧЕТКОГО ПРАВИЛА ОТДЕЛЕНИЯ для схемы вывода (11.1) будет нечеткое множество , определяемое выражением

,

где

Следствия:

1) Пусть высказывание имеет вид :

<Если или или … или , то >

Тогда истинность нечеткого высказывания запишется:

,

где - нечеткое высказывание вида < Если то >.

2) Пусть А' и В' - четкие высказывания:

, .

причем значения w' и v' можно рассматривать как нечеткие переменные с функциями принадлежности, имеющими вид:

Тогда: ,

где

. (11.2)

Рассмотрим следующую схему вывода :

(11.3)

Тогда истинностью нечеткого правила отделения для схемы вывода (11.3) называется нечеткое множество

или

(11.4)

где , - функция принадлежности нечеткого множества .

СЛЕДСТВИЕ. Пусть - четкие высказывания. Тогда:

,

где

Величину называют СТЕПЕНЬЮ ИСТИННОСТИ ПРАВИЛА ОТДЕЛЕНИЯ ДЛЯ НЕЧЕТКОЙ СИСТЕМЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ ПЕРВОГО ТИПА.

Данное понятие отражает СТЕПЕНЬ СООТВЕТСТВИЯ значения v' выходного параметра V значению w' обобщенного входного параметра W при задании экспертной информации системой высказываний первого типа.

Пример (1).

Пусть (система высказываний) заданы лингвистические переменные областями определения X=[10,20], Y=[20,40], V=[20,40] и множествами базовых значений Т_x = {около 10, около 20} = {}; T_y={около 20, около 40 } ={}; T_v= {около 20, около 30, около 40 }= {}.

Функции принадлежности определяющие семантику соответствующих базовых значений переменных приведены на рис. 11.1.

Рис.11.1. Функции принадлежности базовых значений переменных

Система высказываний первого типа, отражающая взаимосвязь между базовыми значениями переменной и переменных входных параметров x и y имеет вид:

где

Найдем истинность правила отделения для схемы вывода

──────────────────────────

при значениях x =14; y = 27; v = 25.

РЕШЕНИЕ.

По функциям принадлежности, изображенным на рис.11.1, находим (14) = 0.6; (27) = 0.7; (14) = 0.4; (27) = 0.3; (25) = 0.5; (25) = 0.3; (25) = 0. Согласно свойству , где D - четкое высказывание, C - нечеткое

Вычисляем значения истинности :

На основании выражения (11.5) определяем значение степени истинности нечеткого правила отделения :

= 1 & (1- 0.6 +0.5) = 0.9;

= 1 & (1- 0.4 +0.3) = 0.9;

= 1 & (1- 0.3 +0.0) = 0.7;

Отсюда на основании выражения (11.4) находим истинность правила отделения :

= {0.7/1}.

Найдем теперь истинность правила отделения для параметров x =14; y =27; v =35. Находим:

(35) = 0; (35) = 0.3; (25) = 0.4.

= 1 & (1- 0.6 +0.0) = 0.4;

= 1 & (1- 0.4 +0.3) = 0.9;

= 1 & (1- 0.3 +0.4) = 1.0;

Отсюда: = { 0.4/1 }.

Очевидно, что в качестве выходного параметра следует взять v = 25.

Таким образом,. на основе понятия степени истинности нечеткого правила отделения для нечеткой схемы вывода можно сформулировать следующее правило выбора значений выходного параметра V.

ПРАВИЛО. При заданной системе эталонных логических высказываний L⁽¹⁾ - типа для значений x, y, z ... входных параметров X,Y,Z ... значениями выходного параметра V является такое множество , для каждого элемента которого схема вывода (11.6)

имеет наибольшую степень истинности нечеткого правила, определяемую выражением (11.5).

Алгоритм выбора значений параметров на основе нечеткого правила отделения.

Рассмотрим алгоритм выбора параметров проектируемого изделия на основе нечеткого правила отделения. (Рис.11.2).

Рис.11.2.

Для нахождения множества значений выходного параметра V запишем:

,

где.

Расположим в порядке возрастания:

Тогда функция запишется в виде:

,

где .

Обозначим через n₁(v) число базовых значений Т_v лингвистической переменной с отличными от нуля значениями функции принадлежности в точке.

Очевидно (из природы Т_v и требований к виду функций принадлежности, определяющих эти значения) справедливо выражение для свойства 11.1.

Свойство 11.1. .

Обозначим:

,

где .

Теорема 11.1. Справедливо выражение: (импликация)

Т.е. если число высказываний в эталонной системе (10.4) не меньше трех, то для любого значения vV значение функции и значение соответствующей функции F₃ совпадают.

В качестве следствия оказываются справедливы следующие выражения:

1)

2)

Обозначим . Рассмотрим процедуру нахождения множества оптимальных значений параметра V на основе улучшения нижней оценки значения f₀.

Будем рассматривать случай m3. На основании теоремы 1 множество запишем в следующем виде:

.

Пусть , где ,

где S₂ - носитель нечеткого множества, определяемого функцией .

Рассмотрим два случая:

1) V₁=0. Тогда справедливо выражение: ; причем при .Поэтому при V₁= О, и (рис.11.3).

, V₁=[v₁,v”]

Рис.11.3 Рис.11.4.

2) (рис.11.4).

Обозначим через подмножество, для которого справедливо выражение т.е.

Рассмотрим два случая.

1) V₂ = Ø. Тогда справедливо выражение .

Обозначим через мощность подмножества , для элементов которого справедливо выражение:

Свойство 11.2. Если V₁ ≠ Ø, то справедливо неравенство

Другими словами, функции и имеют одну или две точки пересечения, в которых и отличны от нуля.

Примеры случаев и показаны на рис.11.5 и рис.11.6.

Рис.11.5. Рис.11.6.

Теорема 11.2. Если V₂ = Ø то F₃(v) достигает максимального значения при . Иными словами, если для любого не выполняются одновременно условия и , то функция F₃(v) достигает своего наибольшего значения в точках пересечения кривых и .

2) , т.е. существует непустое множество V₂, для элементов которого выполняются условия: и . Обозначим через следующее подмножество . Здесь - носитель нечеткого множества, определяемого функцией принадлежности . Возможны также два случая:

1) = О (рис. 11.7)

Рис.11.7. Рис.11.8.

Здесь справедливо выражение . Иными словами, при значение функции F₃(v) никогда не превышает , причем в случае, когда . Поэтому при = 0 величина и множество .

2) (рис. 11.8).

Обозначим через V₃ подмножество, для элементов v которого выполняются условия:

Рассмотрим два случая:

1) . Тогда .

Т.е. F₃ достигает максимального значения при всех значениях . Поэтому при и множество .

2) V₃ = O. Тогда

Пусть для определенности функции находятся "левее" и "правее" . Обозначим через v_н и v_к границы интервала, определяющего множество , через - подмножество , для элементов которого справедливо равенство:

CВОЙСТВО 11.3. Число элементов в не превышает одного: │= 1.

CВОЙСТВО 11.4. Функции и монотонны на .

ТЕОРЕМА 11.3. Если V₃=O и = O, то F₃(v) достигает своего максимального значения в точке v_н или v_к.

ТЕОРЕМА 11.4. Если V₃=O и ={v'}, то F₃(v) достигает своего максимального значения v'. Другими словами, ={v'}.

На основе рассмотренных выше случаев можно предложить следующий алгоритм нахождения множества оптимальных значений параметра V. Структурная схема алгоритма A⁽¹⁾ представлена на рис.11.9.

Рис. 11.9. Структура алгоритма A⁽¹⁾

Пример 11.2.

Рассмотрим работу алгоритма на следующем примере. Пусть переменные и система высказываний L⁽¹⁾ те же, что и в примере 1. Требуется определить значения выходного параметра V при входных параметрах x=14, y=27.

Находим:

Располагая в порядке возрастания, получим:

Отсюда получаем:

По алгоритму определяем V'=[22, 37] и S₂=[20,28].

Далее находим V₁=[22,28]. Так как множество , то определяем V₂=[24,26], откуда = O.

Поэтому и = V₂ = [24,26].

Таким образом, для данной системы высказываний первого типа и входных параметров x=14 и y=27 рекомендуемые значения выходного параметра V находятся в пределах от 24 до 26.