4. Понятие нечеткого оператора и алгоритма

Такие элементы, как нечеткое множество, нечеткое отношение, нечеткие и лингвистические переменные, приводят к важному понятию нечеткого алгоритма, который требуется построить при моделировании объектов на ЭВМ.

Алгоритм состоит из операторов. Любой из операторов, содержащий по крайней мере одну нечеткую или лингвистическую переменную, нечеткое отношение и т.п. называют НЕЧЕТКИМ ОПЕРАТОРОМ. На основе этого понятия можно дать следующее содержательное определение нечеткого алгоритма:

НЕЧЕТКИЙ АЛГОРИТМ - это последовательность выполняемых в соответствии с их семантикой нечетких операторов, приводящая к неполностью определенному (нечеткому) решению поставленной задачи.

Нечеткие алгоритмы позволяют применять лингвистическое описание для моделирования сложных процессов, описывать одни нечеткие понятия другими ранее определенными, устанавливать нечеткие отношения между понятиями, прогнозировать поведение объекта управления, формулировать множество альтернатив и производить формальное описание нечетких правил.

Непосредственное выполнение нечетких алгоритмов на ЭВМ невозможно. В связи с этим возникает проблема разработки методов выполнения арифметических и логических нечетких операторов и процедур при ограниченном времени выполнения, а также процедур лингвистической аппроксимации.

5. Выполнение нечетких алгоритмов.

Рассмотрим условный нечеткий оператор общего вида

если Y то Ф иначе Е (8.1)

где Y - нечеткое логическое выражение (условие); Ф, Е - группы нечетких операторов, включая и обычные, четкие операторы.

Результат выполнения условного оператора (8.1) будет

(8.2)

где - результат выполнения оператора ξ, µ_y - степень истинности условия Y.

Таким образом результатом выполнения условного нечеткого оператора является нечеткое множество результатов выполнения соответствующих групп операторов Ф и E.

При необходимости однозначно определить группу операторов можно воспользоваться двумя способами.

1. Задать порог степени истинности . Вычислить µ_y.

Тогда

(8.3)

Если , то переход к выполнению группы нечетких операторов Ф осуществляется, если условие Y более истинно, чем ложно.

Увеличение означает повышение требований к уровню определенности заключения об истинности Y.

2. Вычислить µ_y.Разыграть равномерно распределенную на интервале (0,1) случайную величину. Пусть полученное значение будет . Тогда искомый результат будет определяться по (8.3). Здесь µ_y рассматривается как вероятность истинности условия Y.

Рассмотрим теперь процесс выполнения нечетких алгоритмов.

Результат выполнения нечеткого алгоритма можно определить как нечеткое множество:

(8.4)

где V_i - i-ый элемент итога (i-ый результат); µ_I -степень истинности результата V_i. Элемент итога состоит из результатов проделанных операций и значений переменных, образовавшихся к моменту достижения конечной точки нечеткого алгоритма.

Рассмотрим процедуру построения графа полного выполнения нечеткого алгоритма. Полным считается выполнение, при котором I достигает максимально возможного значения. Участки нечеткого алгоритма, не содержащие условных нечетких операторов, будем называть дугами, а условные нечеткие операторы - узлами графа. Начальной точке алгоритма соответствует узел, из которого выходит одна дуга и в который ни одна дуга не входит. Каждый из двух ветвей, выходящих из узлов, ограничивается либо новым условным оператором, либо концом алгоритма.

Очевидно, что граф Г полного выполнения нечеткого алгоритма является бинарным деревом (рис.8.1).

Корню графа l₀ соответствует начальная точка нечеткого алгоритма, множеству листьев - множество результатов выполнения, множеству узлов G={g_k} - множество условных операторов, множеству дуг Y={y_j} - множество участков нечеткого алгоритма, в которых отсутствует нечеткие условные операторы.

Рис. 8.1.

Для формирования всего множества результатов V требуются большие затраты времени. При ограниченном времени может иметь место неполное выполнение нечеткого алгоритма. В результате получится нечеткое множество , состоящие из результатов истинности остаточного множества .

В связи с этим возникает задача разработки таких методов выполнения нечеткого алгоритма, которые позволяли бы последовательно отыскивать элементы множества V со все меньшей степенью истинности.

Произведем новую разметку дуг графа Г. Дуге, выходящей из l₀, поставим в соответствие число 1, а каждым двум дугам, выходящим из узлов g_i: (g_i,g_i1) и (g_i,g_i2); числа , где -степень истинности условия, входящего в тот условный нечеткий оператор, который соответствует узлу g_i.

Из корня l₀ в лист l_i 0ведет единственный путь, так как граф Г - бинарное дерево. Обозначим этот путь - D_i. Тогда степень истинности листа l_i графа Г определим:

(8.5)

где µ_gi - метка дуги

Поскольку между множествами результатов и листьев L имеет место взаимно однозначное соответствие, то и степень истинности µ_i результата V_i равнa µ_li

Минимаксная интерпритация операции , будет следующей. Пусть для некоторого узла g_ξ

(8.6)

На основании изложенного можно построить процедуры нахождения результата выполнения нечеткого алгоритма с различными степенями истинности.

Например, алгоритм поиска результата с наибольшей степенью истинности. Результат будет обладать наибольшей степенью истинности, если при выполнении каждого условного нечеткого оператора управление передавать ветви с большей степенью истинности.