2. Нечеткая и лингвистическая логика

Нечетким логическим выражением называется формула, в состав которой входят нечеткие предикаты.

НЕЧЕТКИМ ПРЕДИКАТОМ называют отображение

P^F:Xⁿ -> [0,1],

где X={x}, n - любое натуральное число. Принадлежащее отрезку [0,1] число, которое предикат ставит в соответствие конкретному набору (x_k1, x_k2,...x_kn), где ; называют СТЕПЕНЬЮ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ высказывания или СТЕПЕНЬЮ ИСТИННОСТИ. Интерпретация степени истинности может быть следующей - это вероятность того, что эксперт назовет высказывание истинным.

Нечеткие логические выражения (или нечеткие формулы) отличаются от обычных наличием в их формулировках лингвистических и нечетких переменных и нечетких отношений (предикатов).

Примеры: а) нечеткий предикат примерного равенства AE(x,y):x≈y, где ; б) нечеткий предикат порядка GT(C,H):C>H,

где C,H - нечеткие числа.

Пусть μ₁ и μ₂ - степени истинности высказываний P₁^F и P₂^F, в которые превращаются нечеткие предикаты после подстановки вместо переменных x_k1...x_kn конкретных элементов множества X. Тогда степень истинности сложного высказывания, образованного из P₁^F и P₂^F с помощью операций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, может быть определена следующим образом

(7.1)

(7.2)

(7.3)

Здесь операции и соответствуют операциям объединения и пересечения нечетких множеств. При минимаксной интерпретации функции принадлежности

(7.4)

(7.5)

НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА - это логика, в которой степень истинности

высказываний определяется выражениями (3.1)...(3.5). Степень истинности более сложных высказываний можно определить последовательно, применяя формулы (7.1...7.5). Задание нечетких предикатов производится путем специального опроса экспертов или с помощью нечетких алгоритмов.

В общем случае степень истинности оказывается не числом из отрезка [0,1], а нечетким числом. Логика, в которой степени истинности являются нечеткими числами, называется ЛИНГВИСТИЧЕСКОЙ ЛОГИКОЙ. Иногда нечеткую логику называют многозначной.

Лекция 8 псевдофизические логики

(продолжение)

Нечеткие высказывания. Нечеткие алгоритмы

План лекции

1. Нечеткие высказывания.

2. Свойства высказываний.

3. Правила преобразования нечетких высказываний.

4. Понятие нечеткого оператора и алгоритма.

5. Выполнение нечетких алгоритмов.

1. Нечеткие высказывания

Нечеткими высказываниями называют высказывания следующего вида:

1) <β есть α>, где β - имя лингвистической переменной, отражающей некоторый объект или параметр реальной действительности, относительно которой производиться утверждение; α - это нечеткая переменная.

Например: "давление большое", "толщина равна 20мм": здесь "α=20мм" - четкая оценка лингвистической переменной β="толщина".

2) <β есть m_α>, <β есть Qα>, <m_β есть Qα>, <Q_β есть m_α>.

При этом m называется модификатором (ему соответствуют такие слова, как ОЧЕНЬ, БОЛЕЕ или МЕНЕЕ, НЕЗНАЧИТЕЛЬНЫЙ, СРЕДНИЙ и др.). Q - квантификатор (ему соответствуют слова: БОЛЬШИНСТВО, НЕСКОЛЬКО, МНОГО, НЕМНОГО, ОЧЕНЬ МНОГО).

Например: <температура очень высокая>, <большинство значений параметра очень мало>.

3. Высказывания, образованные из высказываний 1-го и 2-го видов и союзов И; ИЛИ; ЕСЛИ, ТО; ЕСЛИ ,ТО ,ИНАЧЕ.

Например: <Если давление большое, то толщина не мала>

Предположим, имеются некоторые высказывания и . относительно ситуации А. Пусть они имеют вид:

:<β есть α_С> и :<β есть α_D>,

где α_С и α_D - нечеткие переменные, определенные на универсальном множестве U={u}.

Истинностью высказывания относительно называют значение функции Т(/),определяемое степенью соответствия высказываний и , т.е.

где

при этом -функции принадлежности нечетких переменных -функция принадлежности значения истинности: .

Иными словами, истинностью нечеткого высказывания . относительно нечеткого высказывания является нечеткое множество Т(/) определенное на интервале [0,1], такое, что для любого значение ее функции равно наибольшему значению по всем u, при которых .

Пример: Пусть сформулировано высказывание :<β находиться близко к 5> в то время как является высказыванием :<β имеет значение приблизительно 6>. Очевидно, что = <близко к 5>, ="приблизительно 6" - нечеткие переменные с нечеткими множествами на U={2,3,4,5,6,7,8,9,10};

={0.1/2, 0.3/3, 0.7/4, 0.8/6, 1/5, 0.6/7, 0.3/8, 0.1/9, 0/10}

={0.1/3, 0.4/4, 0.8/5, 1/6, 0.7/7, 0.4/8, 0.3/9, 0.1/10}

Тогда истинность высказывания относительно будет иметь следующий вид:

Т(/)={0.3/0.1, 0.1/0.3, 0.7/0.4, 0.6/0.7, 1/0.8, 0.8/1}