3. Нечеткие отношения

При выполнении нечетких выводов необходимо знание нечетких отношений. Оно позволяет формулировать и анализировать математические модели многих реальных задач принятия решений.

НЕЧЕТКИМ ОТНОШЕНИЕМ R между базовыми множествами U и V (или между проблемной областью, выраженной множеством U и другой областью - полным множеством V) называется нечеткое множество прямого декартова произведения ; т.е.

(6.9)

Здесь U={u₁,u₂,...,u_n}, V={v₁,v₂,...,v_m}, - функция принадлежности нечеткого отношения R, имеющая тот же смысл, это и функция принадлежности нечеткого множества. Отношение R называют также ФУНКЦИЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ (μ_R характеризует меру или степень выполнения отношения u_i R v_j).

Примером нечетких отношений могут служить такие как "X примерно равен Y", "X значительно больше Y", "объект A существенно предпочтительнее, чем объект B".

Допустим, что существует знание-правило типа "если F то G", использующее нечеткие подмножества и . Тогда один из способов построения нечеткого отношения из соответствующей области полного множества U в область полного множества V состоит в следующем.

(6.10)

или

Пример 1 Пусть U и V - области натуральных чисел от 1 до 4.

Определим нечеткие множества F="маленькие", G="большие" U=V={1,2,3,4,};

uF= маленькие = 1/1+0.6/2+0.1/3+0/4

vG= большие = 0/1+0.1/2+0.6/3+1/4

Если множество U конечно и невелико, то нечеткое отношение R удобно задавать в матричном виде. Матрица М(R) представляет собой квадратную матрицу, строки и столбцы которой помечены элементами uU, а на пересечении строки u_i и столбца u_j записано значение r_ij=μ_R(u_i,u_j)

Если есть правило "если u маленькое, то v большое" (или F=>G), то можно следующим образом построить нечеткое отношение R.

μ_R(u,v)=min{μ_F(u_i),μ_G(v_j)}

В качестве элементов матрицы записаны значения принадлежности, указанные в числителе формулы (6.10)

Свертка нечетких отношений.

Для свертки нечетких отношений, необходимых при выводах с помощью цепочки правил выбрана свертка типа max-min. Пусть R нечет кое отношение из области U в область V, а S-нечеткое отношение из области V в область полного множества W. Тогда нечеткое отношение из U в область W определяется как свертка типа max-min

(6.11)

Знак о означает свертку max-min

Пример 2 Допустим, что W={1,2,3,4}, определены также нечеткие множества F(FV)=не маленькие; H(HW)=очень большие;

vF = не маленькие=0/1+0,4/2+0,9/3+1/4,

wH = очень большие=0/1+0/2+0,5/3+1/4 ,

Тогда если есть правило "если v не маленькое, то w очень большое (или F->H), то в соответствии с формулой (6.10) нечеткое отношение S из V в W определяется как

Если по формуле (6.11) вычислить свертку max-min с нечетким отношением R, то из двух значений:

"Если u маленькое, то v большое", "Если v не маленькое, то w очень большое" построим следующее нечеткое отношение из U в W. Формализованное правило: "Если u маленькое, то w очень большое"

Фиксируем i,k; изменяем j. Пример:(u₁,w₃);j=1,2,3,4

u₁,w₃:

j=1: μ_R(u₁,v₁)μ_S(v₁,w₃)=0

j=2: μ_R(u₁,v₂)μ_S(v₂,w₃)=0,1

J=3: μ_R(u₁,v₃)μ_S(v₃,w₃)=0,5

j=4: μ_R(u₁,v₄)μ_S(v₄,w₃)=0,5

max_j = 0,5