2.Нечеткие множества.
Когда мы говорим "старик", то неясно, что мы имеем ввиду больше 50?, больше 60?, больше 70 или больше 20? Теория нечетких множеств изучает множества без уточнения их границ.
Рассмотрим универсальное множество U={u} (u-элемент множества U). НЕЧЕТКИМ (ПОД)МНОЖЕСТВОМ A на множестве U называется совокупность пар
A={<μA(u), u>} (6.1)
где μA(u) - ФУНКЦИЯ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ μA(u):U->[0,1],которая отображает множество U в ограниченный отрезок [0,1]. Значение функции принадлежности μA(u) для элемента u называют СТЕПЕНЬЮ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ каждого элемента нечеткому множеству A.
Носителем нечетного множества A назовем множество SA
(6.2)
Иными словами, носителем нечетного множества является подмножество SA универсального множества U, для элементов которого функция принадлежности μA(u) строго больше нуля.
Пример 1.1. Пусть универсальное множество U - множество возможных толщин изделий от 10 до 40 мм с дискретным шагом 1 мм. Допустим в процессе эксплуатации изделий используется понятие "малая толщина изделия". Тогда это понятие может быть формализовано нечетким множеством A вида
A={1/10,0.9/11,0.8/12,0.7/13,0.5/14,0.3/15,0.1/16,0/17,0/18..}
Графически данное нечеткое множество представимо в виде отдельных точек на плоскости.
Рис. 6.1. Функция принадлежности понятия "малая толщина изделия"
Носителем нечеткого множества A будет конечное подмножество SA{10,11,12,13,14,15,16}
Если полное множество U состоит из конечного числа множеств u1, u2,...,un, то нечеткое множество A можно представить в эквивалентном виде
(6.3)
В данном случае знак "+" не есть сложение, а обозначает совокупность элементов множества (знаменатель) с их принадлежностью (числитель). Следовательно знаки Σ ∫ имеют отличный от традиционного смысл.
ИНТЕРПРЕТАЦИЕЙ
СТЕПЕНИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ является
субъективная мера того, насколько
элемент u соответствует понятию, смысл
которого формализуется нечетким
множеством A.
В случае непрерывного множества U можно ввести следующее обозначение:
(6.4)
Пример 1.2. Пусть полное множество - это множество людей в возрасте от 0 до 100 лет. Функции принадлежности нечетких множеств, означающих возраст "молодой", "средний", "старый", можно определить так, как на рисунке 1.2
Рис.6.2 Функции принадлежности примера 1.2.
При записи через 10 лет получим приблизительно следующее:
молодой=μмолодой(u)=1/0+1/10+0.8/20+0.3/30
средний=μсредний(u)=0.5/30+1/40+0.5/50
старый=μстарый(u)=0.4/50+0.8/60+1/70+1/80+1/90
В данном примере SA={0,10,20,...,90}
Пример 1.3. Нечетким множеством A3-небольшой запас деталей на складе - будет на носителе SA3={10,11,...,40}
А3={0.05/10;0.1/11;0.2/12;0.3/13;0.4/14;0.5/15;0.7/16;0.8/19;1.0/21;...; 1.0/33;0.9/34;0.8/35;0.6/36;0.4/37;0.3/38;0.2/39;0.1/40}
Отсюда следует, что понятию "небольшой запас деталей на складе" полностью соответствует запас объемом от 20 до 30 деталей; в меньшей степени - запасы от 10 до 19 и от 34 до 40 деталей.
Для нечетких множеств определяются понятия дополнение, объединение и пересечение:
1. ДОПОЛНЕНИЕ МНОЖЕСТВА
(6.5)
или
Носителем
нечетного множества будет ; т.е. множество
тех элементов для которых функция
принадлежности
2. ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ
(6.6)
или
здесь знак "V" - знак операции взятия
максимума
3. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ
(6.7)
или
здесь знак "" - знак операции взятия
минимума
Например, для нечетких множеств "молодой" и "средний" получим:
1)=0.2/20+0.7/30+1/40+1/50+1/60+1/70+1/80+1/90
2)
молодойсредний=μмолодойсредний(u)=1/0+1/10+0.8/20+0.5/30+1/40+0.5/50
3) молодой∩средний=μмолодой∩средний(u)=0.3/30
4. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
Пусть Ai определено на Ui i=1,2,...,n. Декартовым произведением нечетких множеств называется множество
(6.8)
5. СТЕПЕНЬЮ ε множества A называется нечеткое множество
При ε=2 получается частный случай операции возведения в степень - операция концентрации, обозначаемая CON (contrakt)
CON(A)=A2
При ε=0.5 получается операция растяжения DIL (dilate)
DIL(A)=A0.5
Операция CON снижает степень нечеткости описания, а операция DIL повышает степень нечеткости.
Пример 1.4 Пусть A и B - нечеткие множества, определенные на универсальном множестве U=[10,50] с функциями принадлежности μA и μB (см. рис.6.3).
Рис. 6.3. Операции с функциями принадлежности