2. Логическая модель представления знаний

В основе логических моделей лежит понятие формальной теории, задаваемой четверкой :

S=<B, F, A, R>.

Здесь В - счетное множество базовых символов (алфавит) теории S. Конечные последовательности базовых символов называются выражениями теории S. F - подмножество выражений теории S, называемых формулами теории. Обычно имеется эффективная процедура построения выражений, являющихся формулами. Можно эту процедуру рассматривать как множество синтаксических правил, позволяющих строить из В синтаксически правильные выражения, т.е. формулы. A - выделенное множество формул, называемых аксиомами теории S, т.е. множество априорно истинных формул, R - конечное множество отношений { r_1,..., r_n} между формулами, называемых правилами вывода.

Наиболее распространенной формальной системой, используемой для представления знаний, является исчисление предикатов. Алфавит исчисления предикатов состоит из следующего набора символов:

1. знаков пунктуации {(, ).};

2. пропозициональных связок {, , , };

3. знаков кванторов {, };

4. символов переменных x_k, k = 1, 2, ;

5. n-местных функциональных букв: f_kⁿ , k 1, n  0 ( f_k⁰ называют константными буквами);

6. n-местных предикатных букв (символов): p_kⁿ, k 1, п  1.

В дальнейшем в примерах для упрощения будем вместо x_k писать u, v, х, y, z,...; вместо f_k⁰ - а, b, с, d,...; вместо f_kⁿ (n  О) - f, g, h,...; а вместо р_kⁿ - Р, Q, R, S, Т, V, W...

Из символов алфавита можно строить различные выражения. Выделяют термы, элементарные формулы (атомы) и правильно построенные формулы (или просто формулы). Всякий символ переменной или константной буквы есть терм. Если t₁,..., t_n (п 1) - термы, то и f_kⁿ (t_1,..., t_n) является термом.

Если p_kⁿ - предикатная буква, а t₁,..., t_n термы, то р_kⁿ ( t₁,..., t_n) - элементарная формула (атом). Атом является правильно построенной формулой. Если А и В - правильно построенные формулы (п.п.ф.), то А, АВ, АВ, АВ есть правильно построенные формулы. Если A - п.п.ф. и х - переменная в А, то (х) А и (х) А - правильно построенные формулы.

Выражение является правильно построенной формулой, только если оно получено с соблюдением перечисленных выше правил.

В выражениях (х)(А) и (х)(А) А называются областью действия квантора всеобщности (общности) и квантора существования соответственно. При этом переменная x называется связанной, если она находится в области действия квантора, примененного к этой переменной. Переменная свободна, если она не связана. Примером формулы является следующее выражение: x (Q (х, y)  R (x)). В этой формуле переменная х связана, а переменная у свободна. Формула называется замкнутой, если она не содержит свободных переменных.

Для того чтобы придать формуле содержание, ее интерпретируют как утверждение, касающееся рассматриваемой предметной области. Под интерпретацией понимают всякую систему, состоящую из непустого множества D, называемого областью интерпретации, и какого-либо соответствия, относящего каждой предикатной букве р_kⁿ некоторое n-местное отношение в D, а каждой функциональной букве f_kⁿ некоторую n-местную функцию, отображающую Dⁿ D, и каждой константной букве f_k⁰ некоторый элемент из D. При заданной интерпретации переменные мыслятся пробегающими область D этой интерпретации. При заданной интерпретации всякой элементарной формуле приписывается значение "истинно" (И) или "ложно'' (Л). Приписывание значения элементарной формуле p_kⁿ(t₁,..., t_п) осуществляется по следующему правилу: если термы предикатной буквы соответствуют элементам из D, удовлетворяющим отношению, определяемому данной интерпретацией, то значением элементарной формулы будет истина, в противном случае - ложь.

Значение неэлементарной формулы можно вычислить рекуррентно, исходя из значений составляющих ее формул. При этом, если А и В - формулы, то значения формул А, АВ, АB, BА определяются по таблице истинности (см.табл.1).

Т а б л и ц а 1

A	B	А	АВ	АB	BА
И	И	Л	И	И	И
Л	И	И	И	Л	И
И	Л	Л	И	Л	Л
Л	Л	И	Л	Л	И

Отметим, что формула (х)(А) обозначает утверждение: "для любого значения х из области D значение формулы А истинно (выполнено)'', а формула (х)(А) обозначает утверждение: "существует такое значение x из области D, что значение формулы А истинно (выполнено) " Приведенные выше утверждения могут быть как истинны, так и ложны. В случае конечных областей значения истинность таких формул можно установить с помощью таблиц истинности. Очевидно, что некоторые формулы могут быть истинными или ложными в зависимости от выбранной интерпретации.

Формула А называется выполнимой тогда и только тогда, когда существует интерпретация I такая, что А принимает значение И в I. Если формула А принимает значение И в интерпретации I, то говорят, что I удовлетворяет формуле А. Если некоторая формула А принимает значение И при всех интерпретациях, то ее называют общезначимой. Так, например, формула P(a)  (P(a)P(b)) истинна при любой интерпретации (это можно установить по таблице истинности), и, следовательно, эта формула общезначима. Формула называется невыполнимой, если при всех интерпретациях она принимает значение Л.

Формула А логически следует из формул В₁,..., В_п тогда и только тогда, когда всякая интерпретация I, удовлетворяющая B₁ ...В_n, удовлетворяет также и А. Формулы B₁,.., B_n называют посылками, а А - заключением логического следования и обозначают B₁,..,B_n  А. Справедлива теорема (теорема дедукции) [Мендельсон, 1971; Ефимов, 1982]: "Пусть даны формулы B₁,... , В_п и формула А. Формула А является логическим следствием B₁,..., В_n тогда и только тогда, когда формула В₁... B_n, А общезначима, т.е. =(B₁ ...B_n)  А.

Задачей доказательства теоремы называют выяснение вопроса логического следования некоторой формулы А из заданного множества формул B₁..., B_n, что равносильно доказательству общезначимости формулы (B₁ ...B_n)  А или невыполнимости формулы (B₁ ...B_n)  А.

Для исчисления предикатов первого порядка не существует общего метода установления общезначимости любых формул, т.е. исчисление предикатов первого порядка является неразрешимым. Однако если некоторая формула исчисления предикатов общезначима, то существует процедура для проверки ее общезначимости, т.е. исчисление предикатов можно назвать полуразрешимым. Упомянутые выше метод резолюции [Робинсон, 1965] и обратный метод [Маслов, 1964] являются наиболее известными методами доказательства теорем.

Приведем пример записи некоторого факта в виде формулы исчисления предикатов:

ДАТЬ (МИХАИЛ, ВЛАДИМИРУ, КНИГУ);

(x) (ЭЛЕМЕНТ (x, СОБЫТИЕ_ДАТЬ)  ИСТОЧНИК (x, МИХАИЛ)  АДРЕСАТ (x, ВЛАДИМИР)  ОБЪЕКТ (x, КНИГА).

Здесь приведены различные способы записи одного факта: "Михаил дал книгу Владимиру''

Основным достоинством использования исчисления предикатов в качестве модели представления знаний является наличие единообразной формальной процедуры доказательства теорем. Однако высокая степень единообразия влечет за собой и основной недостаток данного подхода - сложность использования при доказательстве эвристик, отражающих специфику конкретной проблемной области. Указанный недостаток является особенно важным при построении экспертных систем, вычислительная мощность которых в основном определяется знаниями, характеризующими специфику проблемной области. К другим недостаткам формальных систем следует отнести их монотонность ([Виноград, 1980]), отсутствие средств для структурирования используемых элементов и недопустимость противоречий [Поспелов Д., 1983].