Лекция 4 представление знаний и рассуждений

План лекции

1. Эпистемическая логика

2. Эпистемическая модальность

3. Деонтическая модальность суждений

4. Алетические модальности

5. Вывод в немонотонных логиках

6. Структура знания

1. Эпистемическая логика

Логика знания или эпистемическая логика занимается изучением рассуждений о знании и рассуждений на основании знаний, в состав которых входят такие словосочетания, как «я знаю», «Андрей знает, что Женя не знает». Рассмотрим абстрактную ситуацию, в которой происходит обмен сообщениями между участниками, в качестве которых могут выступать как программы, так и пользователи ИИС, называемые для общности агентами.

Агент 1 передает агенту 2 сообщение «значение параметра а равно 3», агент 2 подтверждает факт получения этого сообщения, передавая в свою очередь, агенту 1 сообщение «сообщение получил». Таким образом, если в язык пропозициональной логики ввести модальный оператор к,ф, т.е. «i знает, что ф», то для ситуации, представленной на рис. 4.1 справедливо:

Рис. 4.1. Ситуация обмена знаниями между агентами

к1р

к2к1р

k1k2k1p,

все они будут истинными утверждениями.

Пусть W — множество возможных миров, a i — обозначение субъекта агента. Рассматривая знания субъекта агента i, обычно приходят к выделению некоторого подмножества множества W, на котором субъект концентрирует внимание. Обозначим данное подмножество W1. Субъект находится в ситуации Wo. Миры из W1 являются достижимыми из ситуации Wo, т.е. находятся в отношении R с ней. Например, можно сказать, что агент i знает факт а в мире Wo, если и только если а истинно во всех мирах, достижимых из Wo по отношению R, т.е. в элементах W1.

Для аксиоматизации моделей, оперирующих знаниями, могут быть использованы следующие системы аксиом и правил вывода:

PL. а, если а — пропозициональная тавтология.

А1.(kа&k(а§р) §k).

А2. kа§ а.

A3. kа § kkа. §§

А4. ka §k kа.

МР. а,а § §/§.

RN. а/kа.

PL и МР представляют собой пропозициональную часть, А1 утверждает, что знание агента замкнуто относительно импликации, А2 утверждает, что подлинное знание является истинным знанием.

A3 и А4 называют соответственно позитивной и негативной интроспекцией. Условия {PL, Al, A2, МР, RN} задают систему Т (или М): для Т имеем рефлексивность R в семантике. Условия для Т с аксиомой A3 задают модальную систему S4 (рефлексивность и транзитивность R), Т с добавлением схемы аксиом А4 получаем систему S5 (рефлексивность, симметричность и транзитивность R). Аксиома RN и ее более слабые формы.

RR:

a §§/ kа§k§

и RE:

а § §/kа §k§

вызывают возражение, т.к. создают представление о всеведении агента. В частности, в условиях ограниченности ресурсов невозможно вывести все логические следствия. Рассмотрим следующие группы аксиомных схем:

Группа А:

А2, A3, А4 и

А5. к(ка §а).

Группа В:

Bl.ka§a,

В2. k (а & §) § (ка & к§),

В2a. k (а &(§v)) § k ((а & §)v )

B3.ka§k(av§),

B4.k§ § k (a v §),

B5.k, (a&§)§ k(a v §),

В6.k (а &§) § k(а &§)

Правила вывода:

МР, а также RD. Из kа § k и k§ § k следует k(av§)§ k.

Введем оператор ВК и будем его рассматривать как «некто полагает, что знает, что «а», где «некто» означает неопределенного, но фиксированного субъекта. Будем рассматривать не один оператор, а некоторое семейство операторов {BKi: iI].

Система BEL определяется следующими схемами и правилами:

PL. , если i;— пропозициональная тавтология.

В1.ВКia § BKia&BKi§.

В2.BKi (а & §) § BKi a & ВКi§.

B7.BKi § (а & §) § BKt §a v ВКi§.

B8.ВKia§§ВKi §а

МР. §, у§§/§.

Операторы знания и заблуждения можно ввести по определению:

kia = DfBKia&a

Eia,= DfBKi,a&a

В системе BEL допускается противоречивость мнений - знаний субъектов, принадлежащих разным областям рассуждений, поскольку возможна истинность как BKia, так и BKj a, где ij.

В системе BEL выполняется требование истинности знания, т.е. схема А2 соблюдается по определению оператора k:

А2.kа§ a

Так же выполняется замкнутость относительно импликации, схема А1

А1.(ka^k(a§§))§k§.

В системе BEL выполняется аксиома

(BKa^BK(a§§))§BK§

В то же время не выполняются:

ВКа § ВКВКа,

RN: a/BKa,

RR: (а § §)/§ka§ ВK§,

RE: a § §/ВКа § ВK§.

Таким образом, ни аксиомы интроспекции (A3 и А4), ни правила RN, RR, RE не имеют место. Данные правила устанавливают границы между сферой логики истинного значения и знаниями субъекта. Противоречия логического всеведения привели к созданию систем, где различаются явное (эксплицитное) и неявное (имплицитное) знания. Для описания неявного знания можно использовать измененное правило RN: если из а следует §, то он неявно знает §:

১ (кЕха § kIт§).

Имеются различные стратегии описания неявного знания. Допустим, что введены описания состояний явного знания субъекта как частичные, непротиворечивые множества. Их можно расширить за счет информации, известной наблюдателю и получить таким образом новые следствия. Разумеется, вводимая информация не должна противоречить исходной.

2. Эпистемическая модальность

Эпистемическая модальность — это выраженная в суждении информация об основаниях его принятия и обоснованности. Важнейшими факторами являются логические и внелогические факторы, различающиеся основаниями их принятия. Первый тип — это основанные на мнениях суждения, выражающие знание. По степени обоснованности среди знаний различают два непересекающихся суждения: достоверные и проблематичные.

- Достоверные суждения - это достаточно обоснованные истинные или логичные суждения.

- Проблематичные суждения. В проблематичным относятся суждения, которые нельзя считать достоверными в силу их недостаточной обоснованности.

В естественном языке показателями проблематичности суждения обычно служат вводные слова: по-видимому, вероятно, представляется, возможно, можно предположить и др.

Обоснованность проблематичных суждений может быть представлена в терминах теории вероятности. Обоснованность, как объективную логическую характеристику суждения, следует отличать от понятия уверенности, выражающего субъективно-психологическое отношение человека к высказыванию, его готовность принять или опровергнуть соответствующие суждения.

Если вероятностная оценка суждения прямо влияет на степень уверенности, то обратное имеет место не всегда. Высокая степень уверенности не означает, что она возникла как результат обоснованности суждения, здесь могут влиять различного рода интересы, склонности, пристрастия.

3. Деонтическая модальность суждений

Деонтическая модальность — это выражение в суждении, предписанное в форме совета, пожелания, правила поведения или приказа, побуждающего человека к конкретным действиям. Например:

«Подрядчик обязан выполнить работу, обусловленную договором, из своего материала и своими средствами, поскольку иное не установлено законом или договором».

К деонтическим относятся различного рода нормативные высказывания, в том числе и нормы права, т.е. официально принятые уполномоченным органом общеобязательные правила поведения, регулирующие правовые отношения в социальной среде, не исполнение которых влечет применение юридических санкций.

Необходимыми элементами правовой формы являются следующие явно или неявно выраженные в ней компоненты:

- авторитет — орган установивший норму;

- адресат — лица, которым надлежит исполнять предписание;

- диспозиция — подлежащие исполнению действия;

- деонтическая характеристика нормы — определяет тип предписания;

- санкция — юридические последствия неисполнения предписания.

В правоотношении праву всегда соответствует обязанность и наоборот, всякой обязанности соответствует определенное право.

Право и обязанность выражают с помощью деонтических операторов: О — обязывания; F — запрещение; Р — разрешение.

Символом d обозначают регулируемое действие, символами x,;y,z — субъектов правоотношений.

В соответствии с деонтическими операторами среди норм права различают: (1) правообязывающие; (2) правозапрещающие; (3) правопредоставляющие.

Правообязывающие нормы формулируют с помощью слов: «обязан», «должен», «надлежит», «признается».

Например: «Ничтожна сделка, совершенная гражданином, признанным недееспособным вследствие психического расстройства. Каждая из сторон такой сделки обязана возвратить другой все полученное в натуре, а при невозможности возвратить полученное в натуре — возместить его стоимость в деньгах».

Символически правообязывание можно выразить в следующем виде O(d), что означает «действие d подлежит обязательному исполнению».

Правозапрещающие нормы формулируют с помощью слов: «запрещается», «не вправе», «не допускается» и других.

Символические правозапрещения можно выразить в следующем виде: F(d), что означает: «действие d запрещено».

Например: «Ломбард не вправе пользоваться или распоряжаться заложенными вещами».

«Банковская гарантия не может быть отозвана гарантом, если в ней не предусмотрено иное».

Правопредоставляющие нормы формируют с помощью слов: «имеет право», «может иметь», «может принять».

Например: «Начальство может предъявить в суде, арбитражном суде или третейском суде требование о досрочном расторжении договора найма»,

«Наниматель вправе отказаться от бытового проекта в любое время».

Правопредоставление символами можно выразить следующим образом: P(d), т.е. предоставляется право выполнять d.

Операторы обязывания и запрещения относятся к сильным деонтическим характеристикам, а разрешение является слабой характеристикой.

Обязанность и разрешение могут быть выражены через друг друга: обязанность выполнять действие эквивалентна запрещению не выполнять его:

O(d)=F(d).

Разрешение определяется через обязывание и запрещение

P(d) § O(d) ^ F(d).

Разрешение выполнить действие d означает, что выполнение d не обязательно и не запрещено.

4. Алетические модальности

Алетические модальности — это выраженная в суждении, в терминах необходимость — случайность либо возможность — невозможность информация о логической или фактической детерминированности суждения. В есте ственном языке показателями суждений возможности являются слова: «возможно», «может быть», «не исключается», «допускается». Например: договор купли-продажи жилого дома с условием пожизненного содержания продавца может быть расторгнут по требованию продавца, если покупатель не исполняет обязанностей, принятых на себя по этому договору. Возможность обозначается знаком 0, необходимость — знаком П. Детерминированные суждения в модальных терминах возможности и невозможности выражаются следующим образом.

Необходимость р эквивалента невозможности р:

□р § <>р.

Возможность р эквивалента отрицанию необходимости р:

<>p § □ p

5. Вывод с умолчаниями в немонотонных логиках

Логики умолчаний введены для умозаключений, являющихся всего лишь правдоподобными. При неполной информации мы вынуждены получать всего лишь правдоподобные, предположительные заключения. Для того чтобы учесть изменения в логическом описании ситуации, возникающие по мере поступления новых знаний, в логике умолчаний предлагается следующее расширение логики исчисления предикатов первого порядка. Логика с умолчаниями А - это пара <W,D>, где W - множество формул исчисления предикатов первого порядка (ИП) и D - множество умолчаний или правил вида А: М В/С (где А, В и С - ИП формулы и М является сокращением для слова «совместно»). Правила умолчания следует читать «Если А известно и -iB невыводимо, тогда выводи С». Идея состоит в том, что W представляет неполное описание мира и D представляет множество метаправил, используемых для того, чтобы создать расширение описания. Например:

Предприятие(х): М является прибыльным (х)

является прибыльным (х)

что читается как «большинство предприятий являются прибыльными». Система логики умолчаний представляется теорией с умолчаниями, состоящей из некоторого множества особо выделенных формул и правил вывода. В ней содержатся формулы логики предикатов, представляющие основную часть информации, обрабатываемую в соответствии с имеющимися аксиомами. Содержатся также правила умолчаний, отражающие различные утверждения, касающиеся исключений. Логики умолчаний позволяют формализовать рассуждения в виде правил вывода, называемых умолчаниями. Правило умолчания D — это выражение вида:

a(x):M§₁(x),..., §_m(x)

(х)

где a(х), §1(x),..., §m(x), (x) — формулы языка ИП, свободные переменные у которых выбраны среди х = (х1...,хn), а(х) называется требованием умолчания, §i(х) — обоснование умолчания Di i = \,...,т, (х) — следствие умолчания D, М — некий символ метаязыка. Интуитивный смысл таков: если мы верим в а(х) и если §1(x), ..., §m(x) выполнимо вместе со всем, во что мы верим, то можно верить и в (х).

Умолчание D называется замкнутым тогда и только тогда, когда а(х), §1(х), ..., §m(x), (x) не содержат свободных переменных. Свободные переменные умолчания считаются §-квантифицированными. Область действия этих кванторов простирается на все члены умолчания. Незамкнутое умолчание называется открытым. Его конкретизацией является замкнутое умолчание, полученное заменой всех свободных переменных открытого умолчания на константы языка ИП.

Теория с умолчаниями подразумевает некоторое (нулевое или большее) число множеств предложений, которые выводимы с использованием множества формул W и удовлетворяют свойству выполнимости. Эти множества предложений называются расширением данной теории с умолчанием. Расширение - это надмножество основных сведений, включающее все выводимое по правилам классической логики и/или логики умолчаний.

Применение правил умолчания в различном порядке может порождать различные варианты расширения, например набор высказываний <{AvB}, {:MA/A,:MB/B}> дает в одном варианте расширение, содержащее А и B и расширение, содержащие В и A. Расширения должны быть внутренне совместны, но как можно видеть из примера, два различных расширения могут быть несовместны. Теория с умолчаниями может иметь нуль или более расширений, каждое из которых является минимальным множеством Е со следующими свойствами.

1. Любое расширение Е содержит W.

2. Е замкнуто относительно монотонной дедукции.

3. Е нечувствительно к умолчаниям (если A: MB/CD и АЕ и BD тогда СD).

Доказательство в теории с умолчаниями определяется следующим образом. Пусть f — замкнутая формула ИП. Конечная последовательность D0,…,Dk есть доказательство для f в А тогда и только тогда, когда:

l.W U{KC(D0)} |- f,

2. W U {KC(Di)} |- KT(Di-1) для i = 1,2,...,k,

3.Dk0,

4. W U {KC(Di)}/0 < i < k} выполнимо, где KC(Di;) — конъюнкция следствий и KT(Di) — конъюнкция требований умолчаний из Di;,таким образом, доказательство есть последовательность подмножеств умолчаний.

Ограничение — форма немонотонного вывода

Для того чтобы программы дедуктивного вывода могли работать, в систему должны быть заложены знания здравого смысла. При этом сразу возникает проблема описания действий, огромное число квалификаций, описывающих условия успешного выполнения действий. Ограничение, предложенное Маккарти, это сужение наблюдаемой вселенной, оно состоит в том, что мы считаем, что объекты, обладающие определенным свойством, это все объекты, удовлетворяющие условию Р.

Известные системы математической логики имеют следующее свойство монотонности: если предложение q следует из множества А предложений и А с В, тогда q следует из В. Ограничение предикатов предполагает, что сущности удовлетворяют коллекции фактов. Ограничение доменов утверждает, что известные сущности суть все имеющиеся в мире сущности. Маккарти предложил предикат ограничения. Основная идея в том, что для данного предиката Р, появляющегося во множестве предложений А, мы вводим P(a) по умолчанию, другими словами, если мы не можем вывести Р(а) из А, тогда мы выводим P(a). Мы изолируем предикат Р, ограничивая его область до объектов, для которых можно доказать, что он справедлив. Маккарти представляет схему второго порядка, которая достигает этого эффекта для единственного предиката и которая может быть обобщена таким образом, чтобы дать возможность ограничения нескольких предикатов одновременно.

Пусть Р — n-арное отношение и Р(x) — сокращение для Р(х1 х2 ....хп). Пусть А(Ф) — результат замещения всех вхождений Р в А предикатным выражением Ф. (Предикатное выражение — это предикатный символ или подходящее лямбда,-выражение). Тогда ограничение Р в А, С(А,Р) есть схема

А(Ф) ^ § х (Ф(х)) §P(x)) § § (x) (P (х) § Ф(х)).

Немонотонные системы

Модифицируемые рассуждения немонотонной логики не являются в классическом смысле общезначимыми. Вывести Р из множества посылок А и отказаться от Р как только информация q будет добавлена в А, означает, что допустимо ввести р, в то время как существует модель для A{q}, не подтверждающая р. Для построения немонотонной логики нужно определить отношение вывода, позволяющее получить заключение, которое подтверждается не во всех моделях для посылок.

Системы дедукции классической логики содержат лишь «позволяющие правила», они всегда имеют вид: «q — теорема, если р1 р2, ...рп— теоремы». Это позволяет лишь получить новые теоремы, но не отказываться от ранее полученных теорем. Моделирующая модифицируемые рассуждения система должна содержать также ограничивающие правила вида: «q — теорема, если p1, p2 …, pn — не теоремы».

Требование выполнимости связано с модифицированностью. При поступлении новой информации предложения могут стать невыполнимыми и будут отвергнуты.

Знания

Хинтикка ввел обозначение возможного мира. Крипке ввел метод специфического семантического анализа: семантику возможных миров. Семантика возможных миров была формализована структурами Крипке. В структуре Крипке «возможные миры» можно рассматривать как вершины графа, которые связаны гранями различного цвета, каждый цвет соответствует отдельному агенту. Два возможных мира связаны гранью (ребром) для агента i тогда, когда они неразличимы для агента. Например, предположим, что имеется множество процессоров, каждый имеет ясно обозначенное множество локальных состояний. Мы затем определим структуру Крипке, состояния которой состоят из глобальных состояний (которые описывают локальные состояния), причем два глобальных состояния неразличимы для процессора, если они оба имеют одно и то же локальное состояние.

Модальная формула будет оцениваться в лоне некоего «универсума» различных «возможных миров». Некое «отношение доступности» свяжет эти возможные миры между собой и укажет последовательность различных моментов, в которые рассматривается мир.

Универсум W есть множество возможных миров, связанных отношением достижимости R. Пара (W,R) называется структурой. Оценка V — это отображение W x ф {и, л}.

Миры W1 называются эпистемическими альтернативами к Wo, а отношение R — отношение альтернативности. Говорят, что эпистемические альтернативы из W совместимы со всем тем, что субъект а знает о мире Wo.

Ка — «К знает, что а».

Моделью назовем упорядоченную тройку

<W, R, ф>,

где W — непустое множество возможных миров; R — бинарное отношение на W (R — рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности); ф — функция, приписывающая каждой пропозициональной переменной подмножество W: ф(p) W. Неформально ф(р) состоит из тех миров, где имеет место р.

Однако в модели Крипке трудно описать такие ситуации, когда агент 1 знает р, агент 2 знает, что агент 1 знает р, агент 1 знает, что агент 2 знает, что агент 1 знает р.

В модели Крипке мы запишем: k1p,k2k1p, k1k2k1p — все истинны. Некоторые постарались обойти эту трудность, пытаясь охарактеризовать состояние знания синтаксически при помощи множества формул, которые являются истинными в этом состоянии.

Этот метод, однако, требует бесконечно много формул, чтобы охарактеризовать состояние знания и оставляет открытым вопрос о том, что такое модель состояния знания. Модель для нас — описание мира, а не коллекция формул. Мы вводим структуру знания, конструируя миры, каждый своей глубины.

Глубина 0 мира — описание реальности (знания пропозициональных переменных, приписанные переменным). Мир глубины 1 состоит из множества миров глубины 0 каждого агента, которые агент считает возможными, мир глубины 2 состоит из множества миров глубины 1 для каждого агента. Факт р — есть общее знание, если каждый знает, что каждый знает, что каждый знает... что р.

Предположим, что имеется конечное множество агентов. Мы будем считать основным свойством знания все, что некто знает является истинным. Хотя некто может верить в ложные вещи, невозможно иметь ложные знания. Мы будем рассматривать идеализированного рационального агента, обладающего совершенной информацией и способностями логического вывода.

В такой системе агент точно знает, что он знает и чего он не знает и знает также все логические выводы из своего знания. Наконец, он знает, что таки ми же свойствами обладают и другие агенты. Эти свойства могут быть записаны в виде аксиом:

1. все варианты подстановок (значений истинности) в пропозициональные тавтологии;

2. kiф => ф (то, что знает агент, является истинным)

3. kiф => kikiф (агент i знает, что он знает)

4. kiф => kikiф (агент i знает, чего он не знает)

5. kiф^ ki(ф1 => ф2)=> ki;ф2 (знания агента i замкнуты относительно импликации).

Эти аксиомы впервые были рассмотрены Хинтиккой. Эти аксиомы вместе с правилом вывода модус поненс (из ф1 и ф2] => ф2 выводим ф2) и правила обобщения (из ф выводим kiф) означают, что агент очень умный: каждый знает все тавтологии и все следствия своего знания. Аксиома 3 может быть выведена из других аксиом и правил вывода, аксиома 3 называется позитивной интроспекцией, аксиома 4 — негативной интроспекцией.

Предположим, имеется только один агент. В этом случае структура знания состоит из двух частей. Первая часть представляет «реальность», пусть для простоты реальность — это приписывание значений истинности фиксированному множеству примитивных предложений. Вторая часть структуры знания описывает множество «возможных миров», каждый из которых есть присваивание истинности, которое агент считает возможным.

Пример 1. Предположим, что р, q и г— примитивные высказывания и «реальность». Это присваивание р q г. Предположим, что агент знает, что точно одно высказывание ложно, но не знает, какое именно. Тогда его множество возможных миров {pqr,pqr,pqr}.

Пример 2. Предположим, имеются два агента Алиса и Боб и одно примитивное предложение р. На уровне «О» («реальность») предположим, что р истинно. Для знания Алисы 1-й уровень («Я, Алиса, не знаю истинно или ложно р»), для знания Боба («Я, Боб, знаю, что р истинно»). 2-й уровень. Для Алисы: Я знаю, что Боб знает, истинно или ложно р. (Состояние знания о себе и другом агенте). Знание Боба 2-го уровня: «Я не знаю, знает ли Алиса р». знание Алисы на 3-м уровне: «Я знаю, что Боб не знает, знаю ли я р».

Дадим формальное определение структуры знания. Мы предполагаем, что существует конечное множество примитивных предложений и конечное фиксированное множество Ф агентов. Приписывание знаний порядка 0, f0 — это приписывание значений пропозициональным переменным. Мы назовем <fo> — 1-арным миром (т.к. его уровень равен 1). Интуитивно 1-арный мир — это описание реальности. Предположим индуктивно, что были определены k-арные миры (или k-миры для краткости). Пусть Wk — множество всех k-миров. Приписывание знания k-го порядка есть функция fk: Ф —> 2Wk . Интуитивно fk связывает с каждым агентом множество возможных k-миров; мир в fk(i) является «возможным» для агента i, а миры Wk — fk(i) - невозможны для агента i, (к+1) — последовательность приписываний есть последовательность<fо, .... fk>, где fi приписывание знаний i-ro порядка, (к+1)-мир — это (к+1)-последовательность приписываний знаний, которая удовлетворяет некоторым семантическим ограничениям, которые будут описаны позже.

Структура знания и структуры Крипке

Предположим, мы имеем агентов 1, ..., k. Соответствующая структура Крипке — это кортеж (S, §, сь ..., cv), где S — множество состояний, § (s) — приписывание истинности примитивности высказыванием для каждого состояния se S и ci] — отношение достижимости (эквивалентности) на S (рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на S). Интуитивно (s,t) c1 если и только если s и t неразличимы в том, что касается знания i-ro агента. Мы теперь определим, что означает, что формула ф может быть удовлетворена в состоянии s из М, что записывается как М, s |= ф.

(1). М, s |= р, где р — примитивное высказывание, если р — истинно при приписывании (s).

(2). М, s |= ф , если М, s/ф

(3). М, s |= ф1^ф2, если М,s |=ф1 и M,s |= ф2

(4). М, s |= kiф, если M,t |= ф для всех t таких, что (s,t) c1

Нетрудно показать, что в семантике Крипке модальности ki; обладает свойствами рефлексивности: kiф=>ф, транзитивности kiф=> kikiф и симметричности и транзитивности вместе kiф=> ki. kiф. (к+1)-мир <f0, ..., fk> должен удовлетворять следующим семантическим ограничениям для каждого агента i:

(kl) Корректность: <f0, ..., fk-1_,> fk(i), если k >1 («Реальный мир— это одна из возможностей для каждого агента») интуитивно это условие говорит, что знание всегда корректно (в отличие от веры).

Если хотим изучить веру, а не знания, тогда заменим семантическое ограничение (kl) («<f0,..., fk-1> fk(i), если k > 1») на «fk(i) не пусто если к >1».

(k2) Интроспекция. Если <q0, ..., qk-1> fk(i) и к>1, тогда qk-1 = fk-1(i) («агент знает точно, что он знает»).

(kЗ) Расширение <qo, ..., qk-2> fk-1(i), если и только если существуют знания (к-1) порядка приписывания qn-1 такого, что <q0, ..., qk-2, qk-1> fk-1(i), если к >1 («i-знание более высокого порядка является расширение i-знания более низкого порядка»).

Байесовский подход

Экономисты используют байесовский подход для моделирования знания, где вместо возможных и невозможных миров мы связываем вероятностное распределение на мирах с каждым агентом. В небайесовских моделях агент знает факт р, если р выполняется во всех мирах, которые агент считает возможными. В байесовском подходе агент знает факт р, если вероятность того, что р выполняется согласно распределению вероятностей агента равна 1.

В байесовской аналогии структуры знания определяется бесконечная иерархия веры. Если X — множество, пусть А(х) определяет пространство вероятностных распределений над X. Рассмотрим множество S, называемое пространством неопределенностей с (определенными топологическими свойствами). Интуитивно S состоит из всех возможных состояний природы. Байесовское приписывание порядка f0 - это просто элемент S и <f0> — байесовский 1-мир. Предположим индуктивно, что множество Хк Байесовских k-миров было определено.

(к+1) — последовательность Байесовских приписываний это функция fk: Ф -> D(Хк), которая связывает с каждым агентом вероятностное распределение на множестве байесовских k-миров, (к+1) — последовательность байесовских приписываний — это последовательность <f0, ..., fk,> где fi — байесовское приписывание i-ro порядка. (к+1)-мир — это (к+1)-последовательность байесовских приписываний, которые удовлетворяют определенным семантическим ограничениям. Бесконечная последовательность <fo, f1, f2, ...> называется байесовской структурой знания, если каждый предикат <f0,..., fk-1> есть байесовский k-мир для каждого k.