ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭВМ (для обыкновенных диф. ур-й).
ОБЩЕЕ ЗАДАНИЕ.
Провести вычисления предложенным методом с заданной точностью,
либо с заданным шагом интегрирования (если метод не указан, выбрать
любой, НО(!)- НЕ НИЖЕ 2-го порядка точности).
Задачи физического содержания (13-15, 19,20) разумным образом
обезразмерить. Результаты представлять в размерных единицах.
Представить: - таблицу расчетных данных;
- сравнение с точным решением (если оно известно);
- графики;
- апостериорную (по расчетным данным, полученным
с разными шагами интегрирования) оценку
погрешности найденного решения;
- оценку эффективного порядка точности используемых
методов;
- проверить соответствие найденных оценок теоретическому
порядку точности используемых методов.
____________________________________________________________
""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
ЗАДАНИЯ ДЛЯ СЧЕТА.
1. d2x/dt2+w**2*x=1-t**2 ( 0<t<T ),
x(0)=a, x'(0)=b.
w=3.141593, 4*3.141593,
a=1, b=0, T=2.
С помощью методов 4-го порядка - Рунге-Кутты и Адамса,
вычислить решение задачи с шагами интегрирования
dt= 0.1, 0.05 и 0.025.
Для каждого случая найти d=max[abs(xi-x(i))], где
xi-вычисленное решение в i-ом узле, x(i)-точное рeшение
там же; подразумевается максимум по всем расчетным узлам.
Сравнить d с апостериорной оценкой погрешности.
2а),б). Вычислить решение задачи:
y'''+y*y''=0 ( 0<x<=2 )
y(0)=y'(0)=0, y''(0)=1,
используя методы 4-ого порядка точности:
а) Рунге-Кутты и
б) явно-неявный (прогноз-коррекция) Адамса.
Расчеты провести с шагами интегрирования
h=0.1,0.05,0.025.
3. Вычислить решение задачи:
y"-10*y'-11*y=0, ( 0<x<b )
y(0)=1, y(b)=-1,
используя метод непосредственной аппроксимации с прогонкой
а) сверху-вниз,
б) снизу-вверх.
Расчёты провести для b=3 и b=5 с h=0.02, 0.01, 0.005
4. Вычислить решение задачи:
y"-10*y'-11*y=0, ( 0<x<b )
y(0)=1, y(b)=-1,
используя метод сведения к задачам Коши для системы 2-х ур-ий
1-го порядка
Задачи Коши решать каким-либо методом 2-го порядка точности:
а) слева-направо,
б) справа-налево.
Расчёты провести для b=3 и b=5 с h=0.02, 0.01, 0.005
5. Вычислить решение задачи:
y"-(100+x*x)*y=x*exp(x), ( 0<x<b )
y(0)=1, y(b)=1,
используя метод непосредственной аппроксимации с прогонкой
а) сверху-вниз,
б) снизу-вверх.
Расчёты провести для b=3 и b=5 с h=0.02, 0.01, 0.005
6. Вычислить решение задачи:
y"-(100+x*x)*y=x*exp(x), ( 0<x<b )
y(0)=1, y(b)=-1,
используя метод сведения к задачам Коши для системы 2-х ур-ий
1-го порядка
Задачи Коши решать каким-либо методом 2-го порядка точности:
а) слева-направо,
б) справа-налево.
Расчёты провести для b=3 и b=5 с h=0.02, 0.01, 0.005
7. Задача:
w''+s*w'+q*sin(w)=0 - ур-е колебаний маятника:
w(0)=a, s - коэф-т сопротивления среды,
w'(0)=b. q=g/l (g-ускорение свободного
падения, l - длина маятника).
a=3.141593/4, b=0, q=1.
Установить численно:
а) период колебаний при s=0,
б) при s=1 время затухания амплитуды колебаний до уровня =0.1.
Проверить численно применимость при этих условиях ур-я
малых колебаний маятника ( т.е. сравнить рез-ты численного
решения данной задачи с аналитическим решением ур-я малых
колебаний) при s=0 и при s=1.
Допустимый уровень погрешности численного решения
e=10**(-4).
-------------------------------------------------------------
МЕТОД ПРИСТРЕЛКИ
8. Вычислить решение задачи:
y''+x*y=sin(Pi*x) ( -1<x<1 ),
y(-1)=1, y(1)=0
посредством сведения краевой задачи к последовательности
задач Коши. Расчеты провести для шагов интегрирования
h=0.1, 0.05 и 0.025.
9. Вычислить решение задачи:
y'=x+y+y*y ( 0<x<1 ),
Дополнительное условие:
интеграл от функции y*y в пределах от 0 до 1 равен 1.
Допустимый уровень погрешности e=0.0001.
Решение задач Коши и интеграл вычислять методами 4-го порядка
точности.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
ЗАДАЧИ С ОСОБОЙ ТОЧКОЙ
10. Найти численно решение задачи:
y'=(10*x-3*y+y*y)/(6*x+y) ( 0<x<1 ),
y(0)=0,
проходящее через I-ый квадрант плоскости (x,y).
Допустимая погрешность численного решения e=10**(-4).
Вне окрестности особой точки для расчёта использовать
метод 4-го порядка точности (Рунге-Кутты или Адамса или
какой-то иной, по Вашему усмотрению).
[11.] Найти численно решение задачи:
y'=(2*y+x^3)/(x+y^2) ( -1<x<1 ),
y(0)=0, y(-1)=1, y(1)=1.
Допустимая погрешность численного решения e=10**(-4).
Использовать метод 4-го порядка точности (Рунге-Кутты или
Адамса или какой-то иной, по Вашему усмотрению).
12 . Найти численно решение задачи:
y'=(2*x+y+0.1*x*x)/(3*x+4*y+y*y) ( 0<x<1 ),
y(0)=0,
проходящее через 4-ый квадрант плоскости (x,y). Допустимая
погрешность численного решения e=10**(-4).
Вне окрестности особой точки для расчёта использовать
метод 4-го порядка точности (Рунге-Кутты или Адамса или
какой-то иной, по Вашему усмотрению).
--------------------------------------------------------------
13. Электрическая цепь состоит из последовательно включенных
источника постоянного тока,дающего напряжение V, сопроти-
вления R, самоиндукции L и конденсатора емкостью C.
Найти силу тока в цепи после ее замыкания.
Задавшись конкретными значениями V,R,L,C вычислить решение.
В электроцепь последовательно включены источник тока,
напряжение которого меняется по закону E=V*sin(w*t), сопро-
тивление R, самоиндукция L и конденсатор C. При t=0 цепь
замыкается. Найти зависимость I(t). При какой частоте
w сила тока найбольшая?
Задавшись конкретными значениями V,w,R,L,C получить числен-
ное решение задачи.
15. К источнику тока с напряжением E=V*sin(w*t) последователь-
но присоединено сопротивление R. Далее цепь разветвляется
на две параллельные ветви, в одной из которых включена
самоиндукция L, а в другой - емкость C. Найти силу тока в
цепи, проходящего через сопротивление R. При какой частоте
w сила тока наибольшая? Найменьшая?
Задавшись конкретными значениями V,w,R,L,C получить числен-
ное решение задачи.
-------------------------------------------------------------