Глава 3. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений

Большая часть инженерных задач приводит к построению математических моделей, которые имеют вид задач для обыкновенных дифференциальных уравнений: . Известно, что любое обыкновенное дифференциальное уравнение - го порядка можно свести к эквивалентной системе уравнений первого порядка с помощью замены переменных . Таким образом, дифференциальное уравнение - го порядка сводится к , где - векторные функции. Не умаляя общности, будем рассматривать методы решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Определение. Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка называется семейство функций , обращающее это уравнение в тождество при подстановке. Процесс нахождения решений принято называть интегрированием уравнения. Совокупность графиков решения на плоскости называется семейством интегральных кривых.

Задание начального условия – точки – выделяет из этого семейства кривую, дающую частное решения уравнения.

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка

Основная задача, решаемая для обыкновенных дифференциальных уравнений, – это задача Коши, или начальная задача, которая состоит из дифференциального уравнения и начального условия в одной точке. Чаще всего такая задача возникает при моделировании развития тех или иных процессов во времени, когда начальное состояние системы считается известным.

Определение. Задача нахождения решения дифференциального уравнения при , удовлетворяющего начальному условию , называется задачей Коши.

Численно решение ищут на конечном заданном отрезке .

Будем предполагать, что функция удовлетворяет условию Липшица по , т.е. существует такая постоянная , что

при всех и всех из интересующей нас области. Это условие обеспечивает единственность решения задачи Коши, если оно существует. Для дифференцируемых по функций условие Липшица выполняется тогда и только тогда, когда для всех из рассматриваемой области выполняется неравенство .

Кроме задачи Коши выделяют еще краевые задачи и задачи на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Численные методы решения задачи Коши

Пусть дана задача Коши

.

Методы решения задачи Коши можно разделить на:

1. Точные методы – методы, позволяющие выписать решение задачи в виде элементарных функций или интегралов от элементарных функций (квадратурах).

2. Приближенные методы – методы, которые позволяют найти точное решение как предел последовательности некоторой функции , каждая из которых выписывается через элементарные функции.

3. Численные методы – методы, позволяющие сформулировать алгоритм нахождения решения задачи Коши и оценить погрешность полученного решения.

Задача может быть решена численными методами при условии, что решение существует, и задача хорошо обусловлена (малые изменения начального условия не приводит к значительному изменению результата).