Глава 2. Задачи приближения функций

В практической деятельности инженер часто имеет дело с информацией в виде таблиц, значений функций, графиков функций и т.д., а для проведения расчетов необходимо, как правило, аналитическое задание функций, т.е. составной частью построения математической модели многих задач является задача приближения функций. Задача приближения функции – это восстановление аналитической зависимости неизвестного вида функции по известным значениям ее в некоторых точках.

Требуется решить задачу приближения функции по заданной таблице ее значений

, ,

где – узлы таблицы.

Приведем примеры, в которых возникает задача приближения функций.

1. Пусть известны , соответствующие : , . Требуется в некоторой промежуточной точке найти значение функции .

2. Пусть , и содержит ошибку. Требуется вычислить с учетом возможной ошибки.

3. Пусть из эксперимента получены значения следующим образом: каждое последующее значение вычисляется через предыдущее, т.е. . В этом случае возникает комбинированная задача: каждое значение ищется из эксперимента и по нему строится .

4. Непосредственное вычисление значений функции связано с проведением сложных расчетов и приводит к значительным затратам машинного времени. Требуется построить функцию , причем .

При постановке задачи о приближении функций и выборе метода ее решения необходимо получить ответы на следующие вопросы:

1. Какая информация о функции может использоваться в качестве входных данных. В частности, какие узлы таблицы использовать.

2. Важно иметь некоторую дополнительную априорную информацию об аппроксимируемой функции. Она может быть качественного характера: монотонность, «достаточная гладкость» и т.д. Полезно получить некоторые количественные характеристики функции : верхние оценки для максимума модуля некоторых ее производных, величина периода, оценка уровня погрешности в заданных значениях. Знание свойств функции позволяет выбрать класс аппроксимирующих функций .

3. Какой критерий согласия между функциями и выбрать. На практике чаще всего используются следующие критерии:

условие интерполирования (в задаче интерполирования) – способ решения задачи о приближении функции, основанный на критерии совпадения значений функций в узлах таблицы.

критерий Чебышева (в задаче о наилучшем равномерном приближении): модуль суммы отклонений во всех узлах сетки таблицы должен быть минимальным, т.е. ,

и критерий минимума среднеквадратичного приближения (в задаче о наилучшем среднеквадратичном приближении): .

1. Какой точности требуется достичь при решении задачи.

Ответы на эти вопросы следует искать в инженерной постановке задачи.

Рассмотрим два основных метода решения задачи приближения функции – метод интерполирования и метод аппроксимации.

Метод интерполирования

Интерполирование – способ решения задачи о приближении функции, основанный на критерии совпадения значений функций в узлах таблицы, т.е. . При этом называется интерполируемой функцией, а – интерполирующей.

Постановка задачи: Пусть заданы значения функции в некоторых точках, которые упорядочены по возрастанию и называются узлами таблицы, в которой собраны аргументы и значения функции в определенной последовательности, т.е. пусть функция задана таблицей своих значений

, ,

где – узлы таблицы.

Требуется построить функцию таким образом, чтобы выполнялся критерий согласия между функциями и (условие интерполирования) .

В качестве интерполирующей функции широко используются обобщенные многочлены , являющиеся линейными комбинациями фиксированного набора некоторых базисных функций . В качестве базисных функций используются степенные, а также тригонометрические и экспоненциальные функции.

Алгебраическое интерполирование

Если базисные функции представляют собой степенные функции, то в качестве используется алгебраический многочлен , так как такие многочлены хорошо изучены, их легко дифференцировать и интегрировать, а функцию можно разложить в ряд Тейлора.

Постановка задачи: Пусть функция задана таблицей своих значений . Требуется построить многочлен степени такой, чтобы выполнялось условие алгебраического интерполирования, , .

Распишем условие интерполирования для каждого узла таблицы:

(1)

Требуется при известных , найти . Система (1) является системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных . Для единственности решения СЛАУ необходимо, чтобы , что и будет предполагаться далее.

Определитель системы (определитель Вандермонда) отличен от нуля:

.

Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема: существует единственный интерполяционный многочлен степени , удовлетворяющий условиям , .

Заметим, что на практике построение интерполяционного многочлена путем решения системы (1) не используется, поскольку соответствующая вычислительная задача, как правило, является плохо обусловленной. Рассмотрим два способа построения интерполяционных многочленов – в форме Лагранжа и Ньютона.

Из теоремы следует, что различные интерполяционные многочлены (Лагранжа, Ньютона и т.д.) отличаются друг от друга только формой записи.