Многошаговые схемы (схемы Адамса)

Среди многошаговых методов наибольшее распространение в практике вычислений получили методы Адамса

,

где – некоторые числовые коэффициенты, .

Для того чтобы можно было пользоваться схемой Адамса, должны быть известны (либо заданы в условии задачи, либо найдены из одношаговых методов).

Схемы Адамса – Башфорта (явные многошаговые схемы)

, заданы;

, заданы;

заданы;

Схемы Адамса – Моултона (неявные многошаговые схемы)

, заданы;

, заданы;

,

заданы.

Сходимость. Погрешность аппроксимации. Порядок точности

Качество разностных схем определяется следующими показателями:

• устойчивостью;

• порядком аппроксимации разностной схемой исходной задачи;

• сходимостью разностного решения к точному в узлах сетки;

Устойчивость – внутреннее свойство разностных схем, не связанное со свойствами исходной задачи Коши.

Определение: (сходимость при )

Зафиксируем точку , где – один из узлов сетки, и построим последовательность сеток, таких, что , а зафиксированная точка остается узлом сетки.

Говорят, что численный метод сходится в точке , если:

при .

Говорят, что метод сходится с -м порядком точности, если существует такое положительное число , что:

.

Если подставить точное решение задачи в левую часть разностного уравнения, то получим уравнение

,

где – невязка (погрешность аппроксимации) разностного уравнения на решении исходной дискретной задачи Коши.

Пример: Рассмотрим конструкцию .

Построим из явной схемы Эйлера для нее невязку: .

Оценим невязку:

, где , , .

Вывод: Явная схема Эйлера аппроксимирует исходную дифференциальную задачу с первым порядком точности по , т. е. для нее .

Аналогичным образом можно определить порядок точности для разностных схем, рассмотренных ранее, результат будет следующим:

для неявной схемы Эйлера , для явной симметричной схемы , для схемы Эйлера-Коши , для схем Рунге-Кутты , для схем Адамса-Башфорта , для схем Адамса-Моултона , где – порядок схемы.

Оценка погрешности. Правило Рунге

Локальной погрешностью метода называется величина

.

Найдем, например, величину локальной погрешности метода Эйлера:

при условии, что .

Другими словами, – погрешность, которую допускает за один шаг метод, стартующий с точного решения.

Глобальной погрешностью (или просто погрешностью) численного метода называют сеточную функцию со значениями в узлах сетки. В качестве меры абсолютной погрешности метода принимается величина

.

Можно показать, что для явных одношаговых методов из того, что локальная погрешность имеет вид следует, что , где и – некоторые константы. В частности, явный метод Эйлера является методом первого порядка точности.

Для нахождения решения задачи Коши с заданной точностью требуется найти такое приближенное решение , для которого величина глобальной погрешности . Так как точное решение задачи, как правило, неизвестно, погрешность оценивают с помощью правила Рунге.

Правилом Рунге называют наиболее распространенный практический метод оценки погрешности, применяемый в разных вариантах.

Для практической оценки глобальной погрешности приводят вычисления с шагами и . За оценку глобальной погрешности решения, полученного с шагом , принимают величину, равную

,

где – порядок метода.

Для оценки локальной погрешности (погрешности на шаге) интегрирование дифференциального уравнения от узла до узла выполняют дважды: один раз с шагом , другой раз с шагом . В результате получают два приближения к : одношаговое и двухшаговое . Согласно правилу Рунге в качестве оценки локальной погрешности принимают величину

.

Правило Рунге применяют также для повышения точности решения в следующей редакции: если выполняется соотношение , то для вычислений на следующем шаге используется значение , в противном случае – значение .

Контрольные вопросы

1. Как свести дифференциальное уравнение (ДУ) - го порядка к эквивалентной системе ДУ I порядка.

2. Что называется общим решением обыкновенного дифференциального уравнения.

3. Что называется интегральной кривой.

4. Сформулируйте задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения I порядка.

5. Сформулируйте теорему существования и единственности.

6. Сформулировать условие применимости решения задачи Коши численными методами.

7. Как строится сетка при численном решении задачи Коши.

8. Как выбирается шаг сетки.

9. Какие функции называются сеточными.

10. Что лежит в основе построения конкретного численного метода.

11. Запишите дискретный аналог дифференциального уравнения.

12. Что такое разностная аппроксимация производной.

13. Приведите формулы численного дифференцирования.

14. Какие методы называются - шаговыми.

15. Какой метод называется одношаговым.

16. Какие методы называются явными.

17. Какие методы называются неявными.

18. Запишите разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки .

19. Какими отличительными свойствами обладает метод Рунге-Кутты.

20. Какая формула описывает метод Эйлера.

21. Сформулируйте теорему об устойчивости метода Эйлера.

22. Какие модификации метода Эйлера существуют.

23. Какая связь между методом Эйлера и методом Рунге-Кутты.