Неявная схема Эйлера

Разностная схема, называемая неявной схемой Эйлера для задачи Коши (5), имеет вид

Расчетная формула неявного метода Эйлера имеет вид:

.

Название «неявная» связано с тем, что входит и в левую, и в правую части расчетной формулы ( ), и для нахождения необходимо решить вспомогательное уравнение.

Пример.

.

Требуется найти решение задачи неявным методом Эйлера.

Решение

	Точное решение
		h=0.1	h=0.01		h=0.001
0.0	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000
0.1	1.0101	1.0204	1.0111	1.0102
0.2	1.04008	1.0629	1.0430	1.0410
0.3	1.0942	1.1308	1.0977	1.0945
0.4	1.1735	1.2291	1.1787	1.1740
0.5	1.2840	1.3657	1.2916	1.2848

Явные схемы часто называют «схемами с запаздыванием», а неявные – «схемами с опережением».

Симметричная схема

Эта схема неявная. Расчетная формула соответствующего ей численного метода имеет вид нелинейного уравнения относительно , которое требуется решить на каждом шаге вычислений

.

Схема Эйлера – Коши

Задаваемый этой схемой метод называется методом Хойна и определяется расчетной формулой

,

где – задано. Это явная формула, применение которой требует двух вычислений значений функции на шаге.

Метод Хойна относится к классу методов «предиктор - корректор», от английского to predict – предсказывать и to correct – корректировать.

Схемы Рунге – Кутты

Рассмотрим семейство разностных схем вида

,

где – задано.

Явный метод Эйлера задается схемой Рунге – Кутты 1^го порядка.

В практических расчетах наиболее часто используются схемы 2^го и 4^го порядков. В стандартном программном обеспечении чаще всего используется схема 4^го порядка. В частности, в системе MATLAB для решения задачи Коши предназначаются функции ode23 и ode 45, реализующие методы Рунге-Кутты 2^го и 4^го порядка соответственно.

Для схемы 4^го порядка:

, (взвешенное среднее)

где , , , .

Таким образом, для вычисления по необходимы 4 вспомогательные точки.

При реализации метода Рунге-Кутты 4^го порядка необходимо на каждом шаге четырежды вычислить в точках с координатами , , , .

После чего следует вычислить

, , , , , .

Рассмотренные выше схемы могут быть в общем виде записаны следующим образом:

1). , задано, – явные одношаговые схемы (явная схема Эйлера и схемы Рунге-Кутты);

2). , задано, – неявные одношаговые схемы (неявная схема Эйлера, явная симметричная схема и схема Эйлера-Коши).

Кроме того, в вычислительной практике часто используются схемы вида:

3). , заданы – явная двухшаговая схема

4). , заданы – неявная двухшаговая схема.