Метод сеток. Основные понятия и определения.

Рассматриваемые далее численные методы решения задачи Коши относятся к классу сеточных (разностных) методов, основанных на замене области изменения аргумента искомой функции дискретным множеством узлов сетки, а производной в дифференциальном уравнении ее дискретными аналогами – разностными производными, которые получают из разложения решения в ряд Тейлора (в предположении надлежащей дифференцируемости решения)

Определение. Сеткой на отрезке называется любое упорядоченное множество точек этого отрезка . Величина , , называется шагом сетки.

Определение. Сетка называется равномерной, если .

Функции , определенные лишь в узлах сетки , называются сеточными.

Определение. Разностными производными функции в точке называются выражения вида , , (центральная), где . Указанные разностные производные представляют собой простейшие дискретные аналоги производной в дифференциальном уравнении.

В основе построения конкретного сеточного метода лежит тот или иной способ замены дифференциального уравнения его дискретным аналогом – уравнением вида

, (4)

где – значения сеточной функции в последовательных точках . Сумма в левой части уравнения (4) рассматривается как разностная аппроксимация производной по одной из формул численного дифференцирования, а правая часть – как специальным образом построенная аппроксимация функции .

При нахождении приближения в очередной точке сетки из уравнения (4) используются найденные ранее значения сеточной функции в предыдущих точках. Такие методы называются -шаговыми. При уравнение (4) принимает вид . Соответствующий этому уравнению метод называется одношаговым. Вычисление осуществляется здесь с использованием только одного предыдущего значения .

В случае, когда входящая в уравнение функция не зависит от , метод называется явным, так как вычисление осуществляется по явной формуле (предполагается, что )

.

Если же зависит от , то на каждом шаге приходится решать нелинейное уравнение (4) относительно . Методы, реализующие такой алгоритм, называются неявными.

Примеры разностных схем и соответствующих им численных методов

Пусть требуется решить задачу Коши

. (5)

Введем на промежутке сетку, для простоты – равномерную: .

Явная схема Эйлера

Разностная схема, называемая явной схемой Эйлера для задачи Коши (5), имеет вид

Решение этой системы линейных алгебраических уравнений можно получить, вычисляя последовательно следующее значение по предыдущему , используя расчетную формулу явного метода Эйлера:

.

В качестве первого значения, соответствующего значению , берется значение из начального условия.

Пример.

.

Требуется найти решение задачи явным методом Эйлера.

Решение: интегрируя это дифференциальное уравнение, получим , а с учетом начального условия – точное решение задачи Коши.

Х	Точное решение
				=0.1	=0.01		=0.001
0.0		1.0000	1.00000			1.00000		1.00000
0.1		1.01005	1.00000			1.00903		1.00995
0.2		1.04081	1.02000			1.03868		1.04060
0.3		1.09417	1.06080			1.09071		1.09383
0.4		1.17351	1.12445			1.16835		1.17299
0.5		1.28403	1.21440			1.27659		1.28328