1.2.4. Операция Шеффера («и-не»).

Операция Шеффера («И-НЕ») - функция f (х₁, х₂,..., х_n), которая ложна лишь в том случае, когда логические переменные и х₁,и х₂, и х_n истинны. Она записывается выражением

f (х1, х2,..., хn) =

х1*х2*...*хn

х1	х2	f (х1, х2)
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Таблица истинности операции «И-НЕ» над двумя переменными имеет следующий вид:

1.2.5. Операция Пирса («или-не»).

Операция Пирса («ИЛИ-НЕ») - функция, которая истинна только в том случае, когда ложны переменные и х1, и х2, и хп. Она записывается выражением

f (х1, х2,..., хn) =

х1+х2+...+хn

х1	х2	f (x1, x2)
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Таблица истинности операции «ИЛИ-НЕ» для двух переменных х₁ и х₂ имеет следующий вид:

1.2.6. Операция сложения по модулю два.

Эта операция несколько напоминает дизъюнкцию и является истинной, когда истинны или х₁, или х₂, или х_n в отдельности, и ложно, когда значения и х₁, и х₂, и х_n совпадают. Операция записывается выражением:

f (х1, х2,..., хn) =

х1х2...хn

х1	х2	f (х1, х2)
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Таблица истинности операции сложения по модулю два имеет следующий вид:

Две функции равносильны друг другу, если принимают на всех возможных наборах переменных одни и те же значения:

f₁ (х₁ ,х₂, … ,x_n) = f₂ (х₁ ,х₂ , … ,х_n).

1.3. Основные законы алгебры логики.

Законами булевой алгебры называются равносильные формы, используемые для эквивалентных преобразований булевых выражений. Они позволяют осуществлять преобразование исходных логических функций, приводить их к виду, удобному для дальнейшего использования.

1.3.1. Переместительный закон (закон коммутативности).

х₁+х₂ = х₂+х₁; х₁х₂ = х₂х₁

1.3.2. Сочетательный закон (закон ассоциативности).

(х₁х₂)х₃ = х₁(х₂х₃) = х₂(х₁х₃)

(х₁+х₂)+х₃ = х₁+(х₂+х₃) = х₂+(х₁+х₃)

1.3.3. Распределительный (дистрибутивный) закон.

1-ый распределительный закон:

х₁(х₂+х₃) = (х₁х₂)+(х₁х₃)

2-ой распределительный закон:

х₁ * х₂ * х₃ = (х₁+х₂)*(х₁+х₃)

Переместительные, сочетательные и распределительные законы могут быть отнесены не только к логическим переменным, но и к формулам.

1.3.4. Законы инверсии.

х 1 + х2

=

х1

*

х2

Правила де Моргана

х 1 * х2

=

х1

+

х2

Второй распределительный закон и законы инверсии для логического сложения и логического умножения не имеют аналогов в обычной алгебре и являются специфичными законами алгебры логики.

Используя основные законы алгебры логики , а также свойства элементарных логических функций первой полной системы, можно записать ряд соотношений, с помощью которых осуществляются в некоторых случаях эквивалентные преобразования сложных логических функций для приведения их к более простому виду. К ним относятся всегда истинные и всегда ложные высказывания, равносильные высказывания и простейшие следствия.

Всегда истинным называется такое сложное высказывание, которое остается истинным независимо от значений истинности составляющих его простых высказываний. Всегда истинные высказывания:

х

+

1 = 1

х

+

х = 1

Всегда ложным называется такое сложное высказывание, которое остается ложным независимо от значений истинности составляющих его простых высказываний. Всегда ложные высказывания:

х

*

0 = 0

х

*

х = 1

Равносильными называются такие два сложных высказывания, которые одинаковым образом зависят от простых высказываний, составляющих эти сложные. К ним относятся:

х

*

0 = 0

х	=	х
х * х …* х	=	х
х + х …+ х	=	х
х + 0	=	Х
х * 1	=	х

Простейшие следствия вытекают из законов и равносильностей алгебры логики. К ним относятся: