1 Цель и содержание

Цель работы – научиться строить уравнение регрессии в MS Excel по заданным значениям.

В результате работы студенты должны:

1. В среде MS Excel по заданным точкам построить уравнение регрессии между двумя переменными.

2. Вычислить остаточную компоненту и среднюю ошибку аппроксимации.

2 Теоретическое обоснование

По имеющимся данным n наблюдений за совместным изменением двух переменных и необходимо определить аналитическую зависимость , наилучшим образом описывающую данные наблюдений.

Построение уравнения регрессии осуществляется в два этапа:

1) спецификация модели (определение вида аналитической зависимости );

2) оценка параметров (определение численных значений) выбранной модели.

Для выбора вида аналитической зависимости применяется три основных метода:

– графический (на основе анализа поля корреляций), например зависимость между доходами и расходами населения, приведенная на рисунке 5;

Рисунок 5 – Поле корреляции зависимости доходов и расходов населения

– аналитический, т. е. исходя из теории изучаемой взаимосвязи;

– экспериментальный, т. е. путем сравнения величины остаточной дисперсии или средней ошибки аппроксимации , рассчитанных для различных моделей регрессии.

3 Аппаратура и материалы

Микрокалькулятор, программное обеспечение MS Excel.

4 Указания по технике безопасности

При выполнении работы студенты должны руководствоваться общими для учебных аудиторий правилами техники безопасности.

5 Порядок выполнения работы и задания

Используя данные лабораторной работы 1 (таблица 3), необходимо построить уравнения парной регрессии с использованием функций ЛИНЕЙН и функции «Мастер диаграмм», проверив точность построения уравнения.

Проверим полученные результаты с помощью MS Excel.

Порядок вычисления параметров уравнения линейной регрессии с использованием встроенной статистической функции линейн следующий:

1) введите исходные данные так, как приведено на рисунке 6;

Рисунок 6 – Исходные данные для расчета уравнения парной регрессии

2) выделите область пустых ячеек 5 строк 2 столбца (H5:I9) для вывода результатов регрессионной статистики;

3) активизируйте Мастер функций. Для этого в главном меню выберите Формулы/Вставить функцию;

4) в окне Категория (рисунок 7) выберите Статистические, в окне Функция – ЛИНЕЙН. Щелкните по кнопке ОК;

Рисунок 7–Диалоговое окно «Мастер функций»

5) заполните аргументы функции (рисунок 8):

Известные_значения_у – диапазон, содержащий данные результативного признака (ячейки С3:С24);

Известные_значения_х – диапазон, содержащий данные факторного признака (ячейки В3:В24);

Рисунок 8– Диалоговое окно ввода аргументов функции ЛИНЕЙН

Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа = 0, то свободный член равен нулю;

Статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится, если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения.

Щелкните по кнопке ОК.

6) в левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите клавишу <F2>, а затем – на комбинацию клавиш <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER> (рисунок 9). Далее необходимо расшифровать полученные значения, как представлено на рисунке.

Рисунок 9 – Результаты вычисления функции ЛИНЕЙН

Для вычисления параметров уравнений парной регрессии в MS Excel можно также воспользоваться Мастером диаграмм.

Порядок построения следующий:

1) введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные (рисунок 6);

2) активизируйте Мастер диаграмм. Для этого в главном меню выберите Вставка/Диаграммы/Точечная (рисунок 10);

Рисунок 10 – Диалоговое окно Диаграммы

3) выберите в меню Макет/Названия осей и подпишите оси x и у, как приведено на рисунке 11;

Рисунок 11 – Поле корреляции

В MS Excel уравнение парной регрессии может быть добавлено в диаграмму. Для этого:

1) выделите область построения диаграммы; в главном меню выберите Макет/Линия тренда/Дополнительные параметры линии тренда (рисунок 12);

Рисунок 12 –Фрагмент диалогового окна типов линий тренда

2) в появившемся диалоговом окне выберите вид линии парной регрессии и задайте соответствующие параметры, как указано на рисунке 13.

Рисунок 13 – Фрагмент диалогового окна параметров линии тренда

На рисунке 14 представлены результаты анализа взаимосвязи среднегодовой стоимости ОПФ и выручки предприятия с использованием линейной функции.

Рисунок 14 – Линейная функция регрессии

Значение коэффициента R² характеризует долю факторной дисперсии в общей дисперсии результативного признака. Полученный результат соответствует расчетам, проведенным в лабораторной работе №1. При этом лишь 22,9% факторной дисперсии объясняется влиянием на выручку среднегодовой стоимости ОПФ.

Задание

Используя данные таблицы П4.1 в соответствии с вариантами, приведенными в таблице П4.2, с использованием функций ЛИНЕЙН и функции «Мастер диаграмм» построить уравнение регрессии и в автоматическом режиме вычислить основные характеристики построенной модели.

6 Содержание отчета и его форма

Отчет должен содержать результаты построения уравнения регрессии, характеристику полученным параметров модели, распечатки с компьютера, выводы по итогам работы.

Лабораторная работа 3

Оценка параметров линейной и нелинейной моделей прогнозирования

1 Цель и содержание

Цель работы – научиться вычислять параметры уравнения парной линейной и нелинейной моделей прогнозирования с помощью системы нормальных уравнений.

В результате работы студенты должны:

1. Вычислить параметры уравнения парной линейной регрессионной модели.

2. Вычислить параметры уравнения парной нелинейной регрессионной модели.

2 Теоретическое обоснование

Для оценки параметров регрессий, линейных по этим параметрам, используется метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических значений при тех же значениях фактора минимальна, т. е. .

В случае линейной регрессии параметры и находятся из системы нормальных уравнений метода наименьших квадратов:

, (10)

или

, . (11)

Нелинейные уравнения регрессии предварительно приводятся к линейному виду (линеаризация уравнения) с помощью преобразования переменных, а затем к преобразованным переменным применяется обычный МНК. Для нелинейных уравнений регрессии вычисление параметров уравнения имеет ряд особенностей, которые связаны с аналитическим выражением уравнения.

Гиперболическая регрессия: .

Линеаризующее преобразование: .

Система нормальных уравнений и параметры уравнения имеют вид:

, (12)

. (13)

Экспоненциальная регрессия: .

Линеаризующее преобразование: .

Параметры уравнения вычисляются по формулам:

. (14)

Модифицированная экспонента: .

Линеаризующее преобразование: .

Параметры уравнения вычисляются по формулам:

. (15)

Величина предела роста K выбирается предварительно на основе анализа поля корреляции либо из качественных соображений. Параметр a берется со знаком «+», если и со знаком «–«, если .

Степенная функция: .

Линеаризующее преобразование: .

Параметры уравнения вычисляются по формулам:

. (16)

Показательная функция: .

Линеаризующее преобразование: .

Параметры уравнения вычисляются по формулам:

. (17)

Логарифмическая функция: .

Линеаризующее преобразование: .

Параметры уравнения вычисляются по формулам:

. (18)

Парабола второго порядка: .

Линеаризующее преобразование: . Этой модели соответствуют две факторные переменные .

Парабола второго порядка имеет 3 параметра a, b, c, которые вычисляются из системы трех уравнений:

. (19)