2.2. Метод контурных токов
Метод контурных токов основан на важной топологической особенности электрических цепей, вытекающей из первого закона Кирхгофа и заключающейся в том, что токи всех ветвей цепи могут быть выражены через токи главных ветвей (ветвей связей). Для определения токов главных ветвей (контурных токов) составляют систему из p – pит – q + 1 уравнений, называемых контурными уравнениями. Их получают с помощью второго закона Кирхгофа.
Для того, чтобы сформулировать правила составления контурных уравнений, введём понятие контурных токов, сопротивлений, Э.Д.С.
Контурный ток Ik – это расчётная величина, которая одинакова для всех ветвей данного контура.
Сопротивление контура Rk – сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур.
Сопротивление ветвей, входящих в два смежных контура, называются общими или взаимными сопротивлениями контуров (Rkj).
Алгебраическая сумма Э.Д.С. данного контура называется контурной Э.Д.С. (Еk).
Рекомендуется следующий порядок составления уравнений с контурными токами:
- в заданной схеме выбирают направление токов в ветвях (произвольно);
- строят граф схемы, переходят к дереву графа схемы, определяют независимые контуры и направления контурных токов;
- определяют контурные Э.Д.С. , собственные и взаимные сопротивления контуров;
- записывают исходную систему уравнений и решают её любым известным способом.
Рассмотрим в качестве примера схему, представленную на рис.3
R1=30 Ом, R2=20 Oм, R3=20 Ом, R4=40 Ом, R5=60 Ом, R6=40 Ом, R7=10 Ом, J7=0,4 A, E3=4 В, Е6=16 В.
Для графа схемы (рис.4) выбираем дерево (ветви 2-5-3-7). Образуем главные контуры, присоединив к ветвям дерева по одной ветви связи.
Далее находим:
- контурные ЭДС
ЕІ = -Е3 = -3 В ;
ЕI I = Е6 + Е3 + R7I7 = 18 + 3 + 10*0,4 = 25 В;
ЕIII = Е4 = 4 В;
- сопротивления контуров: RI = R1 + R2 + R3 = 70 Ом ; RII = R3 + R5 + R6 + R7 = = 130 Ом ; RIII = R2 + R4 + R5 = 120 Ом;
- общие сопротивления контуров: RI-II = R3 = 20 Ом; RI-III = R2 = 20 Ом; RII-III = R5 = 60 Ом.
Рис. 3
Рис. 4
Записываем исходную систему уравнений
(5)
которую решаем на ПЭВМ
;
;
.
Токи ветвей равны разнице соответствующих контурных токов, при этом учитываем, что ток ветви, которая принадлежит только данному конту- ру, равен контурному току. Отсюда следует, что
Анализируя (5), нетрудно установить, что все контурные уравнения имеют одинаковую структуру: левая часть их есть алгебраическая сумма членов, один из которых равен произведению RkIk , а остальные – произведениям контурных токов других контуров на Rkj ; правая часть контурного уравнения содержит только один член – контурную ЭДС (Еk).
Методом контурных токов следует пользоваться, если число узлов схемы q , уменьшенное на единицу, больше числа k взаимонезависимых контуров: q-1>k.