Решение задачи.

.

Из пояснений к методу Марковица в тексте задачи следует, что задача, вообще говоря, не является задачей линейной оптимизации. И все же характер нелинейности уравнений таков, что имеется достаточно эффективная методика решения систем подобных уравнений со многими неизвестными. В стандартной надстройке Поиск решения, поставляемой с MS Excel, для решения этой задачи следует отказаться от линейной модели и решать нелинейную задачу. При этом, судя по всему, Поиск решения сам опознает вид нелинейности и достаточно эффективно решает задачу.

Разумеется, в реальных условиях имело бы смысл выбирать не из десятка видов акций, а из тысяч, по крайней мере. И в этом случае стандартная надстройка к Excel не смогла бы помочь, так как допускает использование не более 200 переменных. Однако, кроме стандартного Поиска решения существует продвинутая программа под названием Premium Solver. Эту программу, также оформленную как надстройка к Excel с очень похожим интерфейсом, можно найти на сайте компании-создателя этого инструмента FrontLine System www.solver.com. Собственно, стандартная надстройка к Excel лицензирована компанией Майкрософт у этой же компании. Надстройку Premium Solver можно скачать бесплатно и пользоваться ею в течение двухнедельного пробного срока.

Главный модуль надстройки позволяет решать задачи с тысячами переменных и ограничений. Кроме этого, в коммерческой версии Поиска решения используется более совершенный алгоритм решения задач. Задачи, квадратичные по переменным, решаются одним модулем с задачами линейной оптимизации (Standard LP/Quadratic), в то время как все остальные нелинейные задачи решаются с помощью другого модуля - GRG Nonlinear Solver - менее эффективными по скорости и результатам методами.

Для решения задачи введем на страницу MS Excel заданную таблицу доходностей по годам (Рис. 53). Для удобства дальнейшей работы исходная таблица повернута (транспонирована). В строке B14:P14 с помощью функции Excel =СРЗНАЧ( ) сосчитана средняя доходность каждой акции за 11 лет в процентах. Эти данные необходимы для расчета ожидаемой доходности. Фактически мы при этом полагаем, что средняя доходность по акциям каждой компании не изменится в ближайшем будущем. Так как ожидаемая доходность – величина случайная, то мы можем утверждать, что для следующего года ожидаемую доходность можно рассчитать как случайную величину с нормальным распределением, с математическим ожиданием, равным среднему значению, и

стандартным отклонением, равным стандартному отклонению, рассчитанному по прошлым значениям доходности.

Чтобы сформировать портфель акций нужно решить, какую часть денег потратить на покупку пакетов каждой из акций. Если мы решим этот вопрос, то ожидаемая доходность портфеля в целом будет равна сумме произведений долей акций в портфеле на их доходность. Таким образом, максимально возможная доходность портфеля акций равна доходности самой прибыльной из акций (в нашем случае MS – 48%), а минимально возможная доходность портфеля – доходности самой непривлекательной акции (в данном случае FI). В этих крайних случаях портфель акций будет содержать акции только одной компании.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P
1	Доход по акциям компании, %
2		AP	BO	BP	DB	DO	DP	EX	FI	FO	GE	GM	IN	LM	MS	PEP
3	1990	13	10	20	-1	-24	1	8	-39	-36	-12	-7	-3	-21	58	34
4	1991	36	0	-12	68	14	30	16	-16	-11	21	-11	11	45	106	18
5	1992	13	-22	-28	-59	15	12	1	-23	75	25	9	74	17	38	33
6	1993	-46	8	40	64	13	1	5	24	47	20	68	72	35	-12	-2
7	1994	15	19	35	11	13	14	-4	62	-14	-7	-28	0	-2	54	-12
8	1995	4	63	30	33	16	32	28	-17	7	50	35	95	76	38	57
9	1996	-33	33	46	9	22	46	22	-5	13	50	21	108	22	83	9
10	1997	-29	11	23	-29	22	31	29	16	36	43	10	28	8	82	26
11	1998	92	-25	14	-26	0	-4	23	4	31	23	27	41	9	80	9
12	1999	202	4	40	83	30	6	7	-8	-13	48	25	33	-62	44	-16
13	2000	-67	61	-22	2	-15	-27	14	-10	-15	14	-28	-10	56	-39	23
14	Средняя доходность, %	=СРЗНАЧ(B3:B13)			14	10	13	14	-1	11	25	11	41	17	48	16

В этой задаче, поэтому, не имело бы смысла максимизировать доходность портфеля – она и так известна. Наша задача – составить портфель акций так, чтобы при заданной средней доходности портфеля ее стандартное отклонение для портфеля в целом (т.е. риск портфеля) было минимальным.

Рис. 53

Продолжим построение таблицы и для этого добавим в нее часть, позволяющую рассчитывать дисперсии доходности для каждой из акций и их взаимные дисперсии (так называемые ковариации). Чтобы подсчитать ковариации доходностей всех пар для 15 акций нужно, конечно, иметь таблицу размером

15х15 ячеек. Для удобства добавим вертикальный столбец с названиями компаний (A16:A30) (Рис. 54). В каждой из 225 ячеек должно содержаться значение ковариации доходностей соответствующей пары компаний. Скажем в ячейке B17, соответствующей паре компаний Apple-Boeing (столбец – строка), должна быть формула =КОВАР($C$3:$C$13;B$3:B$13), где столбец $C$3:$C$13 показывает доходность акций Boeing, а столбец B$3:B$13 – доходность акций Apple. Так как эту формулу нужно протягивать, то адреса ячеек частично фиксированы. При протягивании формулы вправо должны вычисляться ковариации доходностей всех других компаний с доходностью Boeing, поэтому столбец полностью фиксирован. Мы не будем отдельно вычислять дисперсию доходности Boeing, так как выражение вида =КОВАР($C$3:$C$13; C$3:C$13) и так вычисляет эту дисперсию.

К сожалению, протянуть введенную формулу вертикально так, чтобы сразу получились верные формулы нельзя, так как в первом столбце формулы для ковариации при протягивании будут меняться номера строк, а не имена столбцов.

Поэтому придется сначала протянуть формулу вверх и вниз на оставшиеся компании, потом скорректировать ссылки на столбец доходности для каждой компании, а после этого протягивать полученные формулы вправо.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P
15		Взаимная дисперсия (ковариация)
16	APPLE	=КОВАР($B$3:$B$13;B$3:B$13)						-106	-208	-423	280	223	-277	-1773	968	-599
17	BOEING	=КОВАР($C$3:$C$13;B$3:B$13)						86	-13	-377	96	-119	60	501	-484	184
18	BP	=КОВАР($D$3:$D$13;B$3:B$13)						27	270	-132	131	334	327	-301	165	-208
19	DEBEERS	999	=КОВАР($E$3:$E$13;C$3:C$13)						76	-599	142	313	-35	-98	-150	-350
20	DOW CH	347	-54	149	193	242	199	18	135	194	232	174	327	-70	202	-102
21	DU PONT	-73	26	184	61	199	390	82	16	89	213	98	425	86	558	71
22	EXXON	-106	86	27	-46	18	82	112	-71	20	134	66	126	152	144	106
23	FIAT	-208	-13	270	76	135	16	-71	678	92	-86	-7	-114	-62	-53	-330
24	FORD	-423	-377	-132	-599	194	89	20	92	1001	231	466	736	233	-67	70
25	GE	280	96	131	142	232	213	134	-86	231	424	297	552	93	140	49
26	GM	5095	-119	334	313	174	98	66	-7	466	297	748	783	50	-106	-24
27	INTEL	-277	60	327	-35	327	425	126	-114	736	552	783	1528	404	111	165
28	LM	-1773	501	-301	-98	-70	86	152	-62	233	93	50	404	1302	-364	430
29	MS	968	-484	165	-150	202	558	144	-53	-67	140	-106	111	-364	1663	2
30	PEPSICO	-599	184	-208	-350	-102	71	106	-330	70	49	-24	165	430	2	425
31
32	Инвестиц	и 0.0%	0.0%	0.0%	50%	0.0%	0.0%	0.0%	5.2%	8.2%	0.0%	0.0%	0.0%	0.0%	4.0%	33%
33	=СУММ(	AP	BO	BP	DB	DO	DP	EX	FI	FO	GE	GM	IN	LM	MS	PEP
34		=B32*B14/100			0.07	0	0	0	-0	0.01	0	0	0	0	0.02	0.05
35	Вариация	=B32*СУММПРОИЗВ($B$32:$P$32;B16:P16)								=J32*СУММПРОИЗВ($B$32:$P$32;B24:
36	Целевая функция								Мин. допустимый средний доход
37	=СУММ(	B35:P35)							=СУММПРОИЗВ(B32:P32;B14:P14)/100
38	=A37^0.5								15%

_P

Рис. 54

Таким образом, мы получим ковариации для всех возможных пар компаний. Таблица ковариаций должна получиться симметричной относительно диагонали B16:P30. Если бы мы знали не только ковариации доходностей, но и

доли капитала

^x_i ^{, вложенные в каждую акцию, то могли бы рассчитать}

_{дисперсию портфеля акций в целом по формуле}

_{15 15}

^D_{портфеля} ^ _ ^x_i ^x _j ^Ковар(R_i ^{, R} _j ^{) , где}

Ковар(R_i , R _j )

- рассчитанные нами

i 1

j 1

ковариации доходности для всех пар компаний.

Ранее мы уже выяснили, что доли капитала, потраченные на покупку каждого из пакетов акций, должны быть переменными задачи. Выделим строку B32:P32 под такие переменные. Так как сумма всех переменных x₁, x₂, … x₁₅ – должна равняться единице или 100% капитала (ячейка A33), то при постановке задачи потребуем, чтобы A33=1.

Для расчета дисперсии портфеля удобно переписать формулу для D_{портфеля}

_{15  15 }

_{в более удобном для расчетов виде}

D_{портфеля}  _ x_{i } x _j Ковар(R_i , R _j )_{ . Часть}

i 1

 ^{j 1} 

формулы в фигурных скобках – это сумма произведений долей на

соответствующие ковариации, значит ее можно записать с помощью функции

_{=СУММПРОИЗВ( ). Тогда для Apple, например, можно вычислить значение}

_{ 15 }

выражения

x_{1 } x _j Ковар(R₁ , R _j )_

с помощью формулы

 ^{j 1} 

=B32*СУММПРОИЗВ($B$32:$P$32;B16:P16). Запишем эту формулу в ячейку B35. К сожалению эту формулу так же неудобно протягивать. Поэтому после того, как вы все же протянете ее вправо до конца, исправьте в ней то, что необходимо. Для ориентира в ячейке J35 приведена правильная формула.

Суммирование всех ячеек строки B35:P35 соответствует первому символу суммы в формуле для D_{портфеля}. Таким образом в ячейке A37 (Рис. 54) мы вычисляем ту самую дисперсию портфеля, которая нам необходима для решения задачи. Это и есть целевая ячейка.

Так как для сравнения удобнее использовать стандартное отклонение,

вычислим в ячейке A38 корень из дисперсии (=КОРЕНЬ(A37)).

Мы уже обсуждали здесь, как вычислить ожидаемый доход портфеля. Для этого запишем в ячейке I37 формулу =СУММПРОИЗВ(B32:P32;B14:P14). Вычисляемую тут доходность портфеля при минимизации следует удерживать на уровне не ниже заданного. Зададим минимально допустимый доход в ячейке I38.

Теперь можно ставить задачу надстройке Поиск решения. Пройдемся еще раз по необходимым установкам. Целевая функция в ячейке A37, цель – поиск минимума функции. Изменяемые ячейки B32:P32. Вид модуля для решения задачи - Standard LP/Quadratic (для продвинутого Solver’а) . Опции – подразумеваются неотрицательные значения переменных (Assume Non-Negative) и не следует отмечать, что задача линейная, если используется встроенный

«Поиск решения» . Ограничений всего два – сумма долей капитала, вложенных во все пакеты, равна 100% (A33=1) и средний ожидаемый доход должен быть не менее заданного I37>=I38.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P
32	Инвестиция	0.0%	0.0%	0.0%	50.4%	0.0%	0.0%	0.0%	0.0%	8.5%	0.0%	0.0%	0.0%	0.0%	10.2%	30.9%
33	100.00%	AP	BO	BP	DB	DO	DP	EX	FI	FO	GE	GM	IN	LM	MS	PEP
34		0	0	0	0.071	0	0	0	0	0.009	0	0	0	0	0.049	0.05
35	Вариация	0	0	0	51.89	0	0	0	0	-17.2	0	0	0	0	9.15	-12
36	Целевая функция								Мин. допустимый средний доход
37	31.83								18%
38	5.64								18%

_{Запускаем задачу на решение и получаем результат (Рис. 55).}

Рис. 55

Оказывается, что деньги будут вложены в 4 пакета акций. При этом ожидается доход 18%, а риск портфеля составит 5.64%. Учитывая, что речь идет о нормальном распределении для такой случайной величины, как доход, можно сказать, что с вероятностью 95% реальная величина дохода составит от ~7% (18%-1.96*5.64%) до ~29% (18%+1.96*5.64%).

Что изменится, если мы попытаемся составить более доходный портфель акций? Зададим минимальный доход на уровне 25% и снова найдем минимум дисперсии.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P
32	Инвестиция	0.0%	19.2%	0.0%	25.2%	0.0%	0.0%	0.0%	0.0%	8.6%	0.0%	0.0%	7.4%	0.0%	25.6%	14.0%
33	100.00%	AP	BO	BP	DB	DO	DP	EX	FI	FO	GE	GM	IN	LM	MS	PEP
34		0	0.0283	0	0.036	0	0	0	0	0.009	0	0	0.03	0	0.124	0.023
35	Вариация	0	15.922	0	29.31	0	0	0	0	-7.79	0	0	16.88	0	76.39	3.547
36	Целевая функция								Мин. допустимый средний доход
37	134.26								25%
38	11.59								25%

Рис. 56

В этом случае получается, что наименьшее стандартное отклонение портфеля составляет 11.6%. Поэтому с вероятностью 95% реальная величина дохода составит от 2.3% (25%-1.96*11.6%) до 47.7% (25%+1.96*11.6%). С точки зрения минимальной прибыли разницы практически нет, но средняя прибыль существенно выше. Так что более правильным будет выбрать второй портфель. В нем, как вы видите, содержится 6 пакетов акций.

Если у вас есть настроение, попробуйте определить при каком уровне дохода нижняя граница 95%-ного доверительного интервала станет отрицательной.

Разумеется, сами по себе полученные числа мало что значат. Все дело в том, на каких условиях вы готовы вложить капитал. Если, например, вы хотите, чтобы нижняя граница не опускалась ниже 8%, то из предложенных акций вообще невозможно составить нужный пакет. Придется расширить область поиска. Убедиться в этом можно заменив условие на минимальный доход условием на нижнюю границу доходности (например I37-1.96*D38/100>=8%).

Если вообще снять условие на доход и оставить только требование A33=1, то мы найдем минимально возможный риск для портфеля, состоящего из предложенных акций. Он равен 3.78%, как несложно убедиться.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P
32	Инвестиция	6.7%	6.7%	6.7%	6.7%	6.7%	6.7%	6.7%	6.7%	6.7%	6.7%	6.7%	6.7%	6.7%	6.7%	6.7%
33	100.00%	AP	BO	BP	DB	DO	DP	EX	FI	FO	GE	GM	IN	LM	MS	PEP
34		0.012	0.0098	0.011	0.009	0.006	0.009	0.009	-0	0.007	0.017	0.007	0.027	0.011	0.032	0.011
35	Вариация	17.21	0.5106	10.82	9.717	9.717	10.78	3.772	1.445	6.815	13.01	36.3	22.74	2.601	12.13	-0.49
36	Целевая функция								Мин. допустимый средний доход
37	157.08								18%
38	12.53								18%

Мы пропустили вопрос о равном распределении денег по всем пакетам акций. Давайте запишем в ячейке B32 выражение =1/15 и протянем его на все остальные переменные. Получим следующий результат (Рис. 57)

Рис. 57

Как мы видим, средний ожидаемый доход в этом случае равен 18%, как при первом расчете портфеля! Если у вас возникло впечатление, что, может быть, никакой минимизации и не требовалось, попробуйте оценить доверительный интервал для полученного значения риска. Вы убедитесь, что нижняя граница интервала достигла значения -6.7%, при верхней границе + 42.4%. Таким образом, этот портфель акций является довольно рискованным вложением! Во всяком случае, если вам вдруг понадобится крупная сумма наличных и вы вынуждены будете продавать акции в неблагоприятной ситуации, то ваши инвестиции принесут немалый убыток.

В заключение сделаем одно замечание, относительно приведенных данных по доходностям. Хотя приведенные величины рассчитаны на основе данных о реальных курсах акций (NYSE), но в них недостает сведений о выплаченных в эти годы дивидендах. Дивиденды могут не выплачиваться вообще, либо выплачиваться раз в несколько лет, либо несколько раз в год – это зависит от политики компаний. Поэтому реальная доходность акций может быть выше.