Тема 3: «Двухфакторный дисперсионный анализ»

Рассмотрим влияние двух факторов А и В на конечный результат. Здесь дисперсионный анализ основывается на результатах эксперимента, проводимого на различных уровнях каждого из факторов.

Считаем, что взаимосвязь факторов отсутствует. Для простоты ограничимся случаем, когда для каждой пары уровней рассматриваемых факторов проводится по одному наблюдению (двухфакторный дисперсионный анализ без повторений).

Пусть n - число уровней фактора А, n число уровней фактора В. Тогда общее число наблюдений для всех возможных пар уровней факторов А и В равно n = n

Гипотеза H утверждает, что фактор А не влияет на конечный результат.

Гипотеза H утверждает, что фактор В не влияет на конечный результат.

Пусть x результат наблюдения при i-м уровне фактора А и j-м уровня фактора В. Введём следующие обозначения:

= ,

S S

S = S

Статистика F

Статистика F

Доверительная вероятность p, По таблице F- распределения находим граничные точки F (для H и F . (для H

Если F > F то мы отклоняем гипотезу H на уровне значимости .

Если F > F то мы отклоняем гипотезу H на уровне значимости .

Пример

Таблица содержит результаты наблюдений за влиянием факторов А и В на конечный результат

Уровни фактора А	Уровни фактора В
	1	2	3	4
1	3	7	6	8
2	4	2	5	7
3	6	3	4	3

Оказывает ли влияние фактор А на конечный результат? Оказывает ли влияние фактор В на конечный результат? Доверительная вероятность равна 95%.

Заполним таблицу.

Уровни фактора А	Уровни фактора В				Сумма
	1	2	3	4
1	3	7	6	8	24	6
2	4	2	5	7	18	4,5
3	6	3	4	3	16	4
Сумма	13	12	15	18	58
	4,33	4	5	6

Поясним, как заполняется таблица

В предпоследней строке указана сумма чисел соответствующего столба. В предпоследнем столбце указана сумма чисел соответствующей строки. Разделив эти суммы на число слагаемых и округлив результаты до двух цифр после запятой, мы получим последние строку и столбец.

Здесь число уровней фактора А равно n а число уровней фактора В равно n

×4) = 4,83.

S

S

S = ×4×4,83

S

H : фактор А не влияет на конечный результат.

H H : фактор А влияет на конечный результат.

H утверждает, что фактор В не влияет на конечный результат.

H yутверждает, что фактор В влияет на конечный результат.

Доверительная вероятность p = 0,95 .

Статистика F

По таблице F- распределения находим граничную точку F > F =0,99.

Мы принимаем гипотезу H на уровне значимости 5%, то есть фактор А не влияет на конечный результат.

Статистика F

По таблице F- распределения находим граничную точку

F > F

Мы принимаем гипотезу H на уровне значимости 5%, то есть фактор В не влияет на конечный результат.

Задача

Таблица содержит результаты наблюдений за влиянием факторов А и В на конечный результат.

Уровни фактора А	Уровни фактора В
	1	2	3	4
1	2	6	5	7
2	5	2	6	8
3	6	2	2	3

Оказывает ли влияние фактор А на конечный результат? Оказывает ли влияние фактор В на конечный результат? Доверительная вероятность равна 99%.

Замечание. Excel позволяет провести двухфакторный дисперсионный анализ без повторений. Воспользуемся надстройкой Пакет анализа.

Сервис Анализ данных Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений

ОК. Откроется диалоговое окно, которое нужно заполнить. ОК. Откроется итоговое окно.

Если для соответствующего источника вариации (строки или столбцы) p-значение меньше Альфа (то есть F > F критическое), то соответствующая гипотеза Н отвергается.

Excel позволяет также провести двухфакторный дисперсионный анализ с повторением. Сервис Анализ данных Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями ОК

Откроется диалоговое окно, которое нужно заполнить. В графе Число строк для выборки нужно указать число повторений. ОК. Откроется итоговое окно.