5. Елементи теорії похибок при реєстрації ядерних випромінювань

Пригадаємо, що ряд чисел k₁, k₂,…, k_i ,…k_n, який одержують при n замірах випадкової величини k називають вибіркою із генеральної сукупності. Середнє значення вибірки обчислюється за формулою:

(13)

і слугує оцінкою середнього значення генеральної сукупності. На основі вибірки із n елементів можна знайти переконливу незміщену оцінку дисперсії випадкової величини зa допомогою виразуя:

. (14)

Оцінка стандартного відхилення випадкової величини знаходиться за формулою:

. (15)

Середнє значення вибірки теж є випадковою величиною, бо для різних вибірок воно приймає різні значення. Стандартне відхилення середнього значення обчислюється з допомогою співвідношення:

(16)

В теорії похибок величину σ, яка є найважливішою характеристикою випадкової величини, називають середньоквадратичною або стандартною похибкою. Оцінка стандартного відхилення S_n випадкової величини k, коли n досить велике (n>6), може використовуватися в якості абсолютної похибки Δk одного виміру числа імпульсів від детектора на протязі певної тривалості часу виміру. Величина використовується як похибка результату серії замірів. Відносні похибки обчислюються за допомогою виразів:

; . (17)

Як видно з формули (12), імовірність P_z того, що похибка не перевищує величини , легко обчислити за допомогою функції Ф(z). Імовірність P_z називають довірчою імовірністю або надійністю, а інтервал значень – довірчим інтервалом. Чим більшу надійність наших результатів ми хочемо гарантувати, тим більший відповідний довірчий інтервал для похибки ми повинні вибрати.

Отже, результат вимірювання випадкової величини ми повинні характеризувати двома числами: величиною самої похибки, яка визначає довірчий інтервал, і значенням надійності цієї похибку, тобто довірчою імовірністю.

Коли n досить велике, то за похибку Δk, визначену з довірчою імовірністю 0,68 (кажуть ще з надійністю 68%) досить взяти одне стандартне відхилення вибірки, а за похибку з надійністю 0,95 - два стандартних відхилення.

Часто при обробці результатів користуються вибірками з трьох - чотирьох елементів. При малих вибірках для визначення імовірності того, що істинне значення похибки Δk лежить в межах вибраного довірчого інтервалу, використовуються, так звані, коефіцієнти Стьюдента t_pn, які приведені в додатку. Більш повну таблицю можна знайти в книзі [1]. Коефіцієнти t_pn визначаються вибраною нами для результатів вимірювання довірчою імовірністю Р_z та кількістю n наявних елементів вибірки. Якщо середньоквадратичне відхилення середнього значення вибірки рівне , то похибка результату серії замірів з достовірністю Р_z обчислюється за формулою:

. (18)

Коли при реєстрації ядерного випромінювання проведено один вимір і зареєстровано k₁ імпульсів від детектора, то єдиною розумною оцінкою середнього значення числа відліківу може бути:

. (19)

Середньоквадратична похибка такого виміру оцінюється як:

. (20)

Нехай за певний інтервал часу t ми реєструємо k імпульсів. Швидкість лічби a рівна k/t. Відносна похибка вимірювання інтервалу часу набагато менша відносної похибки вимірювання величини k. Виміряний інтервал часу можемо вважати не випадковою, а сталою величиною. Відомо, що дисперсія добутку сталої величини на випадкову дорівнює добутку квадрата сталої величини на дисперсію випадкової. Тому:

, а . (21)

Лічба випромінювання досліджуваного джерела проходить на фоні лічби космічного випромінювання і природної радіоактивності навколишніх предметів та атмосфери. Якщо при досліджуванні джерела за час t було зареєстровано k імпульсів, а без джерела за час t_ф було зареєстровано k_ф імпульсів фону, то швидкість лічби a_A, обумовлену тільки джерелом, знаходять за виразом:

. (22)

Дисперсія суми або різниці двох випадкових величин рівна сумі дисперсій цих величин, тому:

і відповідно . (23)